22 svar
174 visningar
Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 14:24 Redigerad: 11 aug 2023 14:25

Väntevärde och standardavvikelse

Antag att X1,...,X50\mathbf{X_1},...,\mathbf{X_{50}} är oberoende och likafördelade med väntevärde E(X)=1E(X)=1 och standardavvikelse D(X)=0.2D(X)=0.2. Beräkna P(X¯50>1.05)P(\bar{X}_{50}>1.05)

Sitter helt fast!

Arktos 4322
Postad: 11 aug 2023 14:53

Att genomsnittet är större än 1,05  är väl samma sak som att summan är större än  50 · 1,05  ?

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 14:59
Arktos skrev:

Att genomsnittet är större än 1,05  är väl samma sak som att summan är större än  50 · 1,05  ?

Hur räknar man ut summan här och vad står 50·1.0550 \cdot 1.05 för?

Arktos 4322
Postad: 11 aug 2023 15:37

Det är P(summan > 50·1,05)  du ska beräkna.
Inte exakt, men normalapproximation går väl bra här också

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 15:38 Redigerad: 11 aug 2023 15:43

Låt Y50 = X1+X2+...+X50
stå för summan av de 50 variablerna.

Medelvärdet kan därför beräknas enligt följande:
X50 = Y5050 

 P1.05 < X50 = P1.05 < Y5050 = P50·1.05 < Y50= P50·1.05 - 50·μ < Y50 - 50·μ= P50·1.05 - 50·μσ·50 < Y50 - 50·μσ·50

Nu kan du använda centrala gränsvärdessatsen.

Laguna 29854
Postad: 11 aug 2023 15:51

Det borde stå att man får använda centrala gränsvärdessatsen. Den fungerar inte för alla fördelningar.

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 15:59

Centrala gränsvärdessatsen fungerar för alla fördelningar med ändlig varians.
Eftersom standardavvikelsen angetts i frågan har denna fördelningen det.

Laguna 29854
Postad: 11 aug 2023 16:07

Så är det tydligen. Men summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad, hur går det ihop?

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 16:10
jarenfoa skrev:

Låt Y50 = X1+X2+...+X50
stå för summan av de 50 variablerna.

Medelvärdet kan därför beräknas enligt följande:
X50 = Y5050 

 P1.05 < X50 = P1.05 < Y5050 = P50·1.05 < Y50= P50·1.05 - 50·μ < Y50 - 50·μ= P50·1.05 - 50·μσ·50 < Y50 - 50·μσ·50

Nu kan du använda centrala gränsvärdessatsen.

Om jag förstod det rätt så är P50·1.05 - 50·μσ·50 < Y50 - 50·μσ·50= 1-Φ(52.5) 1-\Phi(52.5)?

känns dock fel!

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 16:12 Redigerad: 11 aug 2023 16:15

Ja det är fel.

a  50·1.05

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 16:43 Redigerad: 11 aug 2023 16:45
Laguna skrev:

Så är det tydligen. Men summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad, hur går det ihop?

Summan av två Poisson-fördelade variabler är Poisson-fördelad,
men med en större faktor λ (som i en Poisson-fördelning står för både väntevärde och varians)
Allt eftersom fler variabler läggs samman fortsätter λ för summans fördelning att öka.

Men om du tittar på en bild av sannolikhetsfunktion för en Poisson-fördelning med riktigt hög λ
så kommer du se att den alltmer ser ut som täthetsfunktion för en Normal-fördelning.
Centrala gränsvärdessatsen slår till igen.

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 16:45 Redigerad: 11 aug 2023 16:45
jarenfoa skrev:

Ja det är fel.

a  50·1.05

Nä, kommer inte vidare. Kan bara tillämpa GVS på typen av P(a<X¯nb)P(a<\overline{x}_n\leq> \\ P(c<Xid)P(c< \sum="" x_i\leq="">

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 16:51

Om du skulle tillämpa den på Pc<Xi<d, vad skulle du få då?

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 16:54

Men ska jag utgå från att c=0c=0? Det var mest det som ställde till det - att det inte var ett intervall.

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 17:00

Du sa att du bara kunde tillämpa GVS på t.ex. typen Pc<Xi<d
Jag gissar att det betyder att dina läromedel täcker detta.
Jag skulle vilja veta vad de anger för allmän lösning för denna typ.

Om jag får veta det kan jag sen hjälpa dig förstå
hur du skall applicera den allmänna lösningen på just detta problem.

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 17:05
jarenfoa skrev:

Du sa att du bara kunde tillämpa GVS på t.ex. typen Pc<Xi<d
Jag gissar att det betyder att dina läromedel täcker detta.
Jag skulle vilja veta vad de anger för allmän lösning för denna typ.

Om jag får veta det kan jag sen hjälpa dig förstå
hur du skall applicera den allmänna lösningen på just detta problem.

P(c<iXid)Φ(d-nμσn)-Φ(c-nμσn)P(c<\sum_i X_i \leq d) \approx \Phi(\frac{d- n\mu}{\sigma \sqrt{n}})- \Phi(\frac{c-n\mu}{\sigma \sqrt{n}})

jarenfoa 420
Postad: 11 aug 2023 17:16

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna (c & d) innan du stoppar in dem i Φ.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns c = 50·1.05,
kan vi sätta den över gränsen, d = .

Soderstrom 2768
Postad: 11 aug 2023 17:23
jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna (c & d) innan du stoppar in dem i Φ.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns c = 50·1.05,
kan vi sätta den över gränsen, d = .

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 


Tillägg: 11 aug 2023 17:31

Och för övrigt så kommer jag fram till: 

Φ()-Φ(52.5-50·10.2·50)=Φ()-Φ(1.76)\Phi(\infty)-\Phi(\frac{52.5-50\cdot 1}{0.2 \cdot \sqrt{50}})=\Phi(\infty)- \Phi(1.76)

Men termen Φ()\Phi(\infty) har väl inget värde alls?

Arktos 4322
Postad: 11 aug 2023 17:37

 Φ(∞) = 1

Soderstrom 2768
Postad: 12 aug 2023 19:21
Soderstrom skrev:
jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna (c & d) innan du stoppar in dem i Φ.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns c = 50·1.05,
kan vi sätta den över gränsen, d = .

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 


Tillägg: 11 aug 2023 17:31

Och för övrigt så kommer jag fram till: 

Φ()-Φ(52.5-50·10.2·50)=Φ()-Φ(1.76)\Phi(\infty)-\Phi(\frac{52.5-50\cdot 1}{0.2 \cdot \sqrt{50}})=\Phi(\infty)- \Phi(1.76)

Men termen Φ()\Phi(\infty) har väl inget värde alls?

Bump

Arktos 4322
Postad: 13 aug 2023 16:58

Första termen i hägra ledet är lika med 1   (se #19)

Soderstrom 2768
Postad: 13 aug 2023 17:02
Arktos skrev:

Första termen i hägra ledet är lika med 1   (se #19)

Kolla hela #18 😅

jarenfoa 420
Postad: 14 aug 2023 08:09 Redigerad: 14 aug 2023 08:12
Soderstrom skrev:
jarenfoa skrev:

Bra!

Denna formel visar att du måste normalisera gränserna (c & d) innan du stoppar in dem i Φ.

Det var det jag försökte visa hur man kan göra i mitt första inlägg (#5).

Eftersom vi bara är intresserade av sannolikheten att summan är över en viss undre gräns c = 50·1.05,
kan vi sätta den över gränsen, d = .

OK! Jag är nog med nu, men har du lust och berätta varför du lägger till de gulmarkerade termer i olikheten? 

Låt oss börja med ditt uttryck och justera det lite:
     Pc <inXi < d=Pc-nμ < inXi-nμ < d-nμ=Pc-nμσn < inXi-nμσn < d-nμσn

Detta är vanlig enkel ekvationsmanipulering.
Genom att göra samma sak på båda sidor om olikhetstecknen
förblir sannolikheten P oförändrad.

Fördelen med detta är att centrala gränsvärdessatsen säger att
just det uttrycket som står i mitten av den sista olikheten
närmar sig en standardiserad normalfördelning när n blir stort.
Med andra ord: inXi-nμσn ~ N0,1     approximativt

Det är därför vi nu kan uttrycka P med hjälp av Φ-funktionen:
 Pc-nμσn < inXi-nμσn < d-nμσn Φd-nμσn - Φc-nμσn

Eftersom jag inte visste vilka formler du redan hade i dina läromedel
valde jag att försöka använda den formel som finns på wikipediasidan jag länkade till.
De gulmarkerade termerna visar hur man manipulerar olikheten
för att få fram det önskvärda uttrycket i mitten.
Det man har runtom är då automatiskt det man skall sätta in i Φ-funktionen.

Svara
Close