Väntevärdesriktig? - Matematisk Statistik

Tips på hur man kan tänka på c)?

Den stokastiska variabeln X har en täthetsfunktion som ges av

f(x) = 4x(a² − x²)/a⁴ om 0 < x < a

0 annars,

där a > 0 är en okänd parameter. Låt x vara en observation
av X.

a) Bestäm ML-skattningen av a med avseende på observationen x.
b) Visa a ML-skattningen ej är väntevärdesriktig.
c) Kan ML-skattningen anpassas för a ge en väntevärdesriktig skattning?

Svar som jag fått fram på a) a^*= $\sqrt{2}$ x

b) E(a^*)=E( $\sqrt{2}$ x)= $\sqrt{2}$ $\cdot$ E(x)= $\sqrt{2}$ $\cdot$ $\frac{8}{15}$ a ≠ a (v.s.v att den inte är väntevärdesriktig).

Välkommen till Pluggakuten, Laree!

Tips till c): Om E[a*] = m·a, där m≠0, så är E[a*/m] = a .

Men kolla igen hur du har fått fram din ML-skattning. Jag får ett annat uttryck.

Hej och tack för svar!

Förstår inte riktigt ditt tips, vart får du m ifrån? Tänkte du kanske på MK-skattning och inte ML-skattning?

När jag gör min ML-skattning deriverar jag uttrycket och sedan sätter den till noll, får då fram $\sqrt{2}$ x, vilket jag sedan dubbelkollar att det är ett maximum med hjälp av teckenschema. Vad får du för svar?

Om tipset:
Du har redan visat att E[a*] = m·a ,där m är en konstant. Vad är m i ditt uttryck?
Då är a*/m en väntevärdestiktig skattning av a ,
eftersom E[a*/m] = E[a*]/m = m·a/m = a .

Om ML-skattningen:
Jag har gjort precis som du, men jag har fått ett annat uttryck för a*.
Visa hur du har deriverat täthetsfunktionen och faktoriserat derivatan, så kan vi reda ut det.

När jag deriverar kommer jag fram till -8x( $a^{2}$ -2 $x^{2}$ )/ $a^{5}$ . Sätter sedan uttrycket till lika med 0 och löser ut a. ( $a^{2}$ =2 $x^{2}$ <=> a= $\sqrt{2} x$ .

Då förstår jag.
Samtidigt ser jag att ditt uttryck för derivatan inte kan vara riktigt, eftersom täthetsfunktionen är ett tredjegradspolynom. Då ska derivatan bli ett andragradspolynom, men din derivata är ju också ett tredjegradspolynom. Det kan inte stämma (och hur fick du a^5 i nämnaren?).

Kolla varje steg i deriveringen av $4 x (a^{2} - x^{2}) / a^{4}$ och se om du hittar något som blivit tokigt.
(eller skriv ut hela tredjegradspolynomet och derivera en term i taget för att se vad det ger.)

Håll ut! Jag försöker få dig att själv komma på felet och rätta det.

Jag tror du deriverar med avseende på x, eller? man ska väl derivera med avseende på a? Det har jag iaf gjort och därav tredjegradspolynom kvar samt varför jag fått a^5 i nämnaren. Jag vill ju få fram L'(a) för att sedan få fram maximala värdet av a.

Du har helt rätt. Här har jag verkligen räknat i nattmössan…
Jag har deriverat med avseende på x . Tack för att du såg det!
Jag tänkte helt fel.

Tanken är ju att finna det värde på a som maximerar likelihoodfunktionen.
Inte att finna det värde på x som maximerar täthetsfunktionen.
Jag har blandat ihop begreppen. Ber om ursäkt för det!

Din derivata med avseende på a är korrekt, så ock din ML-skattning, $a * = x \sqrt{2}$

Det var ju för väl att vi redde ut detta. Tack för din insats!

För dig återstår väl nu bara att modifiera skattningen så att den blir väntevärdesriktig.
Hängde du med på mitt tips?

Vad skönt att vi redde ut det!

Jag tror jag fixar c) också nu, tack för hjälpen!

Tack själv!
Det var lärorikt för mig också.

Svara

Visa senaste svar