Var är derivatan som störst

Hej och välkommen till PluggAkuten!

Vi vill veta då $f'(x)$ antar sitt maximala värde. Vi gör precis som om vi skulle vilja ta reda på när $f(x)$ uppnår sitt maximala värde. För att göra det enklare för dig att förstå, $f'(x)=g(x)$. När uppnår $g(x)$ sitt största värde?

När f’(x) har nått sin maximipunkt ?

Ja, vi söker maximum för $f'(x)$ och det fås genom ... (läs mitt svar/spoiler ovan om du inte kommer på det). :)

Det fås genom att sätta f(x)=0, vilket jag redan gjorde. Jag förstod bara inte resonemanget i bilden som jag infogade där de skrev att 6x^2 är alltid större eller lika med noll och därför kommer derivatan minska ju mer x avviker från noll? 

Nej, du skall lösa $f''(x)=0$. Man kan också resonera sig fram till svaret. Eftersom koefficienten är negativ framför x^2 termen har den ett max, detta uppnås då x=0 därför att x^2 termen är negativ för alla x så det största värdet är när den termen är 0 vilket get extrempunkten till (0,4).

Jaha, nu förstår jag. Tack! :) 

Inga problem. :)

Dracaena skrev:

Nej, du skall lösa $f''(x)=0$. Man kan också resonera sig fram till svaret. Eftersom koefficienten är negativ framför x^2 termen har den ett max, detta uppnås då x=0 därför att x^2 termen är negativ för alla x så det största värdet är när den termen är 0 vilket get extrempunkten till (0,4).

y' = f(x)
f(x) = -6x² + 4 = 4 - 6x²
f(x) = 0 <=> 4 - 6x² = 0
6x² = 4
x² = 4/6
x = √(4/6) = 2/√6

y(2/√6) = -2(2/√6)³ + 4(2/√6) - 1

= -2(8/6√6) + (8/√6) - 1

= (-16/6√6) + (8/√6) - 1

= -(2²(√2)/(3√3)) + ((2²√2)/(√3)) - 1

= 8(√6]/9 - 1

Svar: På punkten (2/√6, ((8(√6)/9) - 1)) har derivatan av kurvan y = -2x³ + 4x - 1 sitt största värde.

Såhär tänkte jag, är detta på rätt spår? 

Dani163 skrev:

Dracaena skrev:

Nej, du skall lösa $f''(x)=0$. Man kan också resonera sig fram till svaret. Eftersom koefficienten är negativ framför x^2 termen har den ett max, detta uppnås då x=0 därför att x^2 termen är negativ för alla x så det största värdet är när den termen är 0 vilket get extrempunkten till (0,4).

y' = f(x)
f(x) = -6x² + 4 = 4 - 6x²
f(x) = 0 <=> 4 - 6x² = 0
6x² = 4
x² = 4/6
x = √(4/6) = 2/√6

y(2/√6) = -2(2/√6)³ + 4(2/√6) - 1

= -2(8/6√6) + (8/√6) - 1

= (-16/6√6) + (8/√6) - 1

= -(2²(√2)/(3√3)) + ((2²√2)/(√3)) - 1

= 8(√6]/9 - 1

Svar: På punkten (2/√6, ((8(√6)/9) - 1)) har derivatan av kurvan y = -2x³ + 4x - 1 sitt största värde.

Såhär tänkte jag, är detta på rätt spår? 

Du har inte tänk helt rätt.

Det vi vill göra är att maximera $f'(x)$, så vi börjar med att ta fram derivatan precis som du gjorde och har då att $f'(x)=-6x^2+4$. Okej, om du inte vill göra som vi gjorde ovan med att använda faktumet ätt $f'(x)$ är en andragradare och därmed läsa av direk vad extrempunkten är så finns det en alternativ lösning. Kalla $f'(x)$ för $g(x)$, dvs låt $f'(x)=g(x)$. Precis som vanligt nu söker vi när $g(x)$ är som störst. Vi hittar extrempunkterna för $g(x)$ genom att lösa ekvationen $g'(x)=0$.