Var ska man ens börja?

Många koncept från envariabelanalysen återkommer och utökas i flervariabelanalysen, särskilt när det gäller gränsvärden, derivator och integraler. Sitter definitionerna i ryggraden blir det såklart enklare. Det är också bra om man har ett grepp om grundläggande linjär algebra, framförallt vektorbegreppet, skalärprodukt och kryssprodukt.

Med det sagt är det inte omöjligt att göra riktigt bra ifrån sig på flervariabelanalysen trots att man ännu inte fått godkänt i envariabelanalys.

Av de uppgifter du visar är det egentligen bara den första som har en direkt koppling till envariabelanalys. I den uppgiften gäller det att förstå funktionsbegreppet och inse att man kan lösa ut $y$ som funktion av $x$ och få en giltig funktion som beskriver lösningsmängden. Det kan man eventuellt reda ut med gymnasiekunskaper.

Den andra uppgiften handlar om andragradsytor. Normalt sett ingår fem andragradsytor i en flervariabelkurs. Andragradytorna är:

• ellipsoider (här ingår sfären som specialfall)

• cylindrar

• koner

• paraboloider

• hyperboloider

I det här fallet kommer det att visa sig att man har en dubbelkon längs y-axeln (med spets i origo). Man måste helt enkelt lära sig att skriva om ekvationen på en slags normalform och sedan avgöra vilken av de fem huvudytorna det handlar om. Många känner till cylindern, konen och sfären redan från gymnasiet, så har man tur är det bara två ytor extra man behöver lära sig utantill. Det handlar också om att lära sig den mer systematiska behandlingen.

Den tredje uppgiften är en direkt tillämpning av rotationen av ett fält, som brukar definieras i slutet av kursen. Man kan också se det som en kryssprodukt mellan två vektorer från linjär algebra, där man tolkar såväl operatorn $\nabla$ som gradientfältet $\nabla f$ som vektorer.

Okej det är en hel del man ska hålla koll på ändå. Men en grej som jag upptäckt på sistone till varför jag presterade så dåligt är för att jag inte gjorde uppgifter (asså jag övade inte). Jag var med på föreläsningar, pratade med andra, kollade otroligt många youtube videos men gjorde knappt några uppgifter. Hade det bästa för mig varit att fokusera på envariabelsanalysen för att få en grund och sen gå vidare till flervariabelsanalysen? Asså det jag gör nu efter min insikt är att efter jag stöter på ett problem så postar jag problemet och går vidare till ett annat problem, jag känner att jag lär mig mer från det när jag får höra hur ni andra tänker, gör, resonerar. Jag känner ofta att jag inte riktig skulle kunna komma på det själv eller att det ofta är någon metod jag inte hört talas om. Genom att prata online här så känns det som att jag får mer insikt men idk.

Note: jag fick underkänt på linjär algebran också.

Edit: Också vad innebär det att skriva på normalform (jag känner till att normalen är vinkelrätt från en linje, plan/yta).

Måste också veta vad operator och gradientfält egentligen innebär. Är inte + och - operatorer?

För att klara utbildningen måste du få godkänt på både flervariabeln och envariabeln, så det är lika bra att hugga tänderna i flervariabeln tycker jag.  Dessutom överlappar kurserna när det gäller gränsvärden, derivator och integraler. Så när du räkneövar flervariabel räkneövar du samtidigt envariabel :)

Det är oerhört viktigt att räkna många övningsuppgifter, särskilt under de första åren på högskola/universitet. Mitt råd till dig är att skaffa rutiner där du regelbundet räknar många uppgifter och gärna postar frågor här på forat för att diskutera lösningsmetoder och reda ut oklarheter.

Den enda gången det kan vara viktigt att strunta i en kurs för att fokusera på en tidigare kurs är om du av csn-taktiska skäl måste få in tillräckligt många poäng innan ett visst datum.

Angående dina frågor, med "normalform" avses bara den form på ekvationen som din lärobok använder vi klassificering av de 5 olika ytorna (sfär, cylinder, kon osv). Ofta vill man att det ska vara =0 eller =1 på högersidan.

Till exempel anger formelsamlingen Beta "normalformen" eller ekvationen för en kon utmed z-axeln som

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Notera var minustecknet sitter! I uppgift 2 har du ekvationen

$y^2=4x^2+16z^2$

$4x^2+16z^2-y^2=0$

$\displaystyle \frac{x^2}{(\frac{1}{2})^2}+\frac{z^2}{(\frac{1}{4})^2}-\frac{y^2}{(\frac{1}{1})^2}=0$

Ser du hur den liknar formelsamlingens "normalform" för konen? Men att det är $y$-termen som står sist med ett minustecken framför? Det är alltså en dubbelkon utmed y-axeln med spets i origo.

På motsvarande sätt är enhetssfärens ekvation $x^2+y^2+z^2=1$ och "normalformen" för en ellipsoid (där enhetssfären är ett specialfall med $a=b=c=1$) är

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1$

D4NIEL skrev:

För att klara utbildningen måste du få godkänt på både flervariabeln och envariabeln, så det är lika bra att hugga tänderna i flervariabeln tycker jag.  Dessutom överlappar kurserna när det gäller gränsvärden, derivator och integraler. Så när du räkneövar flervariabel räkneövar du samtidigt envariabel :)

Det är oerhört viktigt att räkna många övningsuppgifter, särskilt under de första åren på högskola/universitet. Mitt råd till dig är att skaffa rutiner där du regelbundet räknar många uppgifter och gärna postar frågor här på forat för att diskutera lösningsmetoder och reda ut oklarheter.

Den enda gången det kan vara viktigt att strunta i en kurs för att fokusera på en tidigare kurs är om du av csn-taktiska skäl måste få in tillräckligt många poäng innan ett visst datum.

Angående dina frågor, med "normalform" avses bara den form på ekvationen som din lärobok använder vi klassificering av de 5 olika ytorna (sfär, cylinder, kon osv). Ofta vill man att det ska vara =0 eller =1 på högersidan.

Till exempel anger formelsamlingen Beta "normalformen" eller ekvationen för en kon utmed z-axeln som

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

Notera var minustecknet sitter! I uppgift 2 har du ekvationen

$y^2=4x^2+16z^2$

$4x^2+16z^2-y^2=0$

$\displaystyle \frac{x^2}{(\frac{1}{2})^2}+\frac{z^2}{(\frac{1}{4})^2}-\frac{y^2}{(\frac{1}{1})^2}=0$

Ser du hur den liknar formelsamlingens "normalform" för konen? Men att det är $y$-termen som står sist med ett minustecken framför? Det är alltså en dubbelkon utmed y-axeln med spets i origo.

På motsvarande sätt är enhetssfärens ekvation $x^2+y^2+z^2=1$ och "normalformen" för en ellipsoid (där enhetssfären är ett specialfall med $a=b=c=1$) är

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1$

jag har faktiskt inte sett formelsamlingens normalform för konen men kan tänka mig. Jaha, men jag börjar haja mer nu. Då får jag slå upp den här formelsamlingen och också se hur mycket deras ekvationer skiljer sig också!

Edit: hmm om du säger så om flervarren, så kanske jag får hugga tagg i det mer i så fall. 

1. På första är svaret $\mathrm{ℝ} och {\mathrm{ℝ}}^2$? Asså jag fattar inte, och förstår inte egentligen vad de söker men kolla jag fick denna ekvation:

$y={(\frac{7}{9}{x}^2-\frac{3}{9}x-\frac{1}{9})}^{\frac{1}{3}}$, 

så kolla y=f(x)= (uttrycket). y beror nu på EN variabel så definitionsmängden för funktionen är R men när funktion ritas så kommer den ju ritas i R² ty x² (R*R=R²). Men liksom vad räknas som mängden av lösningar, vi kommer ju alltid få talpar och talpar befinner sig i R²... så... NEJ. Svaret måste vara enbart R²... fast däremot så är väl $\mathrm{ℝ}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$? Vet inte om jag ska använda tecknet "tillhör" eller "äkta delmängd", känns typ samma lol. Essch, jag säger båda rummen, de frågar ändå efter "vilka"

Asså gudars, jag ogillar starkt denna formuleringen, förstår inte lol!

2. Jag känner fortfarande inte igen den formen för konen, jag kollade på Jonas Månssons video på konens ekvationen och det var denna z=(x²+y²)^0.5 och då ska man använda sig av z=f(r) där r= (x²+y²) eller något för att få fram rotationssymmetrin. Sen så används också medelpunkt och halvaxlar som jag inte känner till. Däremot kan det jag ha gjort funkat (ska va helt ärlig, kan inte förklara min lösning riktigt eftersom jag fick till imaginära tal i xz-planet). Dessutom kan jag inte förklara rot. symmetrin.

3. Jag tror jag visade denna men jag använde mig inte av Clairut, jag fick att multiplikationen funkade som vanligt. 

Jag tycker du har tänkt helt rätt och du behöver inte vända dig ut och in för att "tolka" utan kan skriva ungefär så här:

Om vi väljer att lösa ut y som funktion av x får vi

$y = \sqrt[3]{\frac{7x^2 - 3x - 1}{9}}$

Eftersom kubikroten är entydigt definierad för alla reella tal $x$ är mängden av lösningar grafen till funktionen:

$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{7x^2 - 3x - 1}{9}}$

Grafen består per definition av alla ordnade talpar $(x,f(x))$ i det kartesiska planet $\mathbb{R}^2$.

Angående konen, eftersom den ligger utmed y-axeln kan du se det som en samling ellipser i xz-planet, en för varje värde på y (det är nog ungefär det du gör, men du löser ut z och drar roten ur vilket förvirrar mig)

När y = 1,2,3 har du ekvationerna (ellipserna i xz-planet)

$1=4x^2+16z^2,\quad 4=4x^2+16z^2,\quad 9=4x^2+16z^2$

För varje värde på y får du alltså en ellips i xz-planet. Om man försöker skissa de 3 ellipserna ovan lite löst i ett koordinatsystem kanske du får något som ser ut så här:

Då bör man få en känsla för hur figuren ser ut, vi kan komplettera med en lite finare bild (y kan ju också negativa värden, till exempel -1, -2 och -3: 

 Du har nog slarvat lite med räkningarna på sista uppgiften, för $\mathbf{e}_x$ borde du få

$\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)-\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)$

Och sedan använder man att det inte spelar någon roll i om man deriverar med avseende på z först och y sedan eller tvärtom (Clairaut).

Ahh okej så svaret är R²  och på den andra att det blir en kon utmed y. Ahhh, genom insättning så får man också ut radien för y=1 är radien 1, för y=2 är radien 2 (antar jag och inte 4) och för y=3 är radien 3. Fast det är ju ellipser, ellipser har la ingen fast radie.

Men, ahh på sista, tänkte inte på f. 

En ellips måste du lära dig utantill. Den har halvaxlar och grejer. 

För y=1 har vi ju ekvationen

$1^2=4x^2+16z^2$

Den kan då skrivas om så här

$\displaystyle 1=\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}+\frac{z^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2}$

Den har halvaxlarna 1/2 och 1/4 ser du? Och plotten i xz-planet blir

De svarta "cirklarna" i grafen ovan är alltså ellipser, de har inte en "radie" utan motsvarar $c$ i ellipsens ekvation

Den allmänna formen är
$\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = c\]$

Där $a$ och $b$ är halvaxlarna. $c$ talar om formen.

ahhaa okej då fattar jag det med halv axlarna och så ser den ut vid y=1 och så fortsätter vi göra så för olika y-värden så får vi hela formen. Tack så mycket!

Tänk på att det är en dubbelkon, inte bara en kon :), du får ju som sagt låta y vara negativt också.