värdemängd

Hittar du några lokala minima eller maxima? 

Hej!

Anta att

    $v = \arcsin \frac{x^2-1}{x^2+1}$

är en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel. Då är

    $\sin v = \frac{x^2-1}{x^2+1}$

och definitionen av begreppet sinus för en vinkel ger att triangelns hypotenusa kan väljas $(x^2+1)$ lång och kateten som står mot vinkeln $v$ kan väljas $(x^2-1)$ lång; Pythagoras sats ger att triangelns andra katet är $\sqrt{(x^2+1)^2-(x^2-1)^2} = \sqrt{4x^2} = 2x$ lång. Tangensvärdet för vinkeln $v$ är därför lika med

    $\tan v = \frac{x^2-1}{2x}\ .$

Låt vinkeln $u = \arctan x$, så att funktionen $f$ kan skrivas

    $f = v - 2u\ .$

En additionsformel för tangensfunktionen ger att

    $\tan f = \frac{\tan v - \tan 2u}{1+\tan v\cdot \tan 2u} \ .$

Det gäller även att

    $\tan 2u = \frac{2\tan u}{1-\tan^2 u} = \frac{2x}{1-x^2}\ ,$

så att

    $\tan v \cdot \tan 2u = -1$

och vinkeln $f(x)$ är därför antingen lika med $\frac{\pi}{2}$ eller $-\frac{\pi}{2}$, oavsett vad $x$ är. För att ta reda på vilket av dessa två värden som är det rätta väljer man ett lämpligt x-värde och studerar tecknet hos talet $f(x)$; jag väljer $x = 1$ för att då är $v = 0$ och $2u$ blir lika med $2\arctan 1 = \frac{\pi}{2}$ så att $f(1) = v - 2u = -\frac{\pi}{2}\ .$

Om $\arcsin \frac{x^2-1}{x^2+1}$ ligger mellan $0$ och $\frac{\pi}{2}$ -- det vill säga att vinkeln $v$ är spetsig -- så är $f(x)$ konstant, lika med $-\frac{\pi}{2}\ .$

• För vilka x-värden är vinkeln $v$ spetsig?
• Hur ser funktionen $f$ ut om vinkeln $v$ inte är spetsig?

Albiki