Värdemängd av en sammansatt funktion

Hej.

 

Uppgiften lyder:

Låt oss börja med att definiera $f:\mathbb{R} \to ]-\infty,2]$ enligt $f(x) = - \frac{4}{5} \sin{\left (\pi x \right )} - 1$, och $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ enligt $g(x) = \frac{5 x}{6}$. I den här inlämningsuppgiften ska vi studera den sammansatta funktionen $h$ av $f$ och $g$, vilken uppfyller $h(x)=f(g(x))$ för alla $x$ i dess definitionsmängd.

 

Jag har fastnat på en deluppgift av uppgiften där jag ska bestämma värdemängden för den sammansatta funktionen $h(x)=f(g(x))$

 

Jag har tidigare tagit fram ett uttryck för den sammansatta funktionen:

$h(x) = - \frac{4}{5} \sin{\left(\frac{5\pi x}{6} \right )} - 1$

 

Jag har även tagit fram definitionsmängden och målmängden för funktionen:

Definitionsmängden är alla möjliga värden på den okända variabeln $x$ som kan stoppas in i funktionen. Målmängden är mängden av de värden som är tillåtna.

Funktionen $g$ anger definitionsmängden och funktionen $f$ anger målmängden.

Eftersom $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ och $f:\mathbb{R} \to ]-\infty,2]$ får vi att:

$h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\to ]-\infty, 2]$ alltså

$h:\mathbb{R}\to ]-\infty, 2]$

 

Nu ska jag bestämma värdemängden och det är här jag är lite osäker på vad som gäller. Jag har tittat på andra liknande trådar och förstått att man kan testa sig fram för att se ett mönster och utifrån detta bestämma värdemängden. Jag vet att sinus har värdemängden $[-1,1]$. 

Enligt definitionsmängden kan jag stoppa in vilket reelt tal x som helst. Men det är här jag blir osäker. Vilka reela tal kan jag testa för? När jag testat mig fram för $x = -1$, $x = 0$ och $x = 1$ får jag $-\frac{3}{5}$, $-1$ och $- \frac{7}{5}$. Med jag har insett att det inte räcker att endast testa för dessa. Eftersom när jag testar vidare för $x = 2$, $x = 3$, $x = 4$ och $x = 5$ får jag $\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$, $-\frac{9}{5}$, $\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$ och $- \frac{7}{5}$.

Och när jag testar för några fler negativa värden, $x = -2$, $x = -3$ och $x = -4$ får jag $-\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$, $- \frac{1}{5}$ och $-\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$.

 

Utifrån detta mönster kan jag se att värdemängden är $- \frac{1}{5}$, $-\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$, $-\frac{3}{5}$, $-1$, $- \frac{7}{5}$, $\frac{2 \sqrt{3}}{5} - 1$, $-\frac{9}{5}$. Detta pga periodiciteten. 

 

Men jag är osäker. Är detta korrekt? Jag tänker på att reela tal inte bara består av heltal utan kan vara andra tal också. Hur ska jag tänka? Finns det ett annat sätt att ta fram vilka tal man ska testa för för att få värdemängden istället för att testa sig fram?