Värderum och liknande

Denna fråga är en förenkling av 3c) ovan om jag var otydlig.

Anto skrev:

Om värderummet till en 3x3 matris A är av dimension 1, hur många linjärt oberoende y finns det så att Ax=y saknar lösning. Min gissning är att det finns 2 sådana vektorer, men jag vet inte exakt hur det ska förklaras. Kan någon hjälpa mig?

Ja, för en $m\times n$-matris gäller att summan av dimensionerna av värderummet och nollrummet är lika med $n$. Detta brukar kallas för dimensionssatsen. Kanske hjälper det?  

Jag vet det. Så om vi är på exemplet i bilden är alltså rang A = 38. Då kan man skapa 4 linjärt oberoende vektorer till (vi är ju i R^42). Alltså är påståendet sant. Men om vi tänker djupare på det är exemplet i R^3 ovan enklare. Då är värderummet en linje. Jag försöker rita upp det, men det känns som att jag kan skapa fler är 2 linjärt oberoende vektorer som inte är på linjen.

Att bara "ta bort" en linje ur R^3 är inte riktigt den rätta intuitionen i detta fall. Generellt kommer du inte få något som bildar ett vektorrum kvar då.

Om linjen är ett delrum så går den genom 0, och då är inte det som är kvar något vektorrum om linjen tas bort (för nollvektorn försvinner).

Tänk dig istället att R^3 är uppbyggt av en linje och ett plan som är ortogonala och möts endast vid 0. Varje punkt i R^3 kan beskrivas som att du först går längs en vektor som ligger på linjen och sedan går längs en vektor parallellt med planet (eller i omvänd ordning). Detta är en beskrivning av R^3 som den direkta summan av en linje R^1 och ett plan R^2.