Varför är det en ON-bas?

Betrakta en matris $A$ som en samling radvektorer. När vi multiplicerar en sådan matris med en ny vektor $\mathbf{g}$ får vi

$A\mathbf{g}=\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{g_1\\g_2\\g_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a_{11}g_1+a_{12}g_2+a_{13}g_3\\a_{21}g_1+a_{22}g_2+a_{23}g_3\\a_{31}g_1+a_{32}g_2+a_{33}g_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}\\\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}\\\mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}}\end{array}\right]$

Där vi identifierade varje rad $\mathbf{a}_1=(a_{11}, a_{12}, a_{13})$ osv som en vektorer. Vi ser att den nya vektorn består av 3 skalärprodukter.

Nu gör vi nästan samma sak igen, fast  den här gången med två matriser.

Vi betraktar den första matrisen $A$ som en samling radvektorer $\mathbf{a}_n$, och den andra matrisen $G$ som en samling kolonnvektorer $\mathbf{g}_n$

$AG=\left[\begin{array}{ccc} -&\mathbf{a}_1&- \\ -&\mathbf{a}_2&-\\-&\mathbf{a}_3&-\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} |&|&| \\ \mathbf{g}_1& \mathbf{g}_2& \mathbf{g_3}\\ |&|&|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_3\\\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_3\\\mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_3 \end{array}\right]$

Dvs varje element $C_{ij}$ ges av $\mathbf{a}_i\cdot \mathbf{g}_j$

Nu låter vi matriserna bestå av den ortogonala basen $\mathbf{e}_1,\dots \mathbf{e}_n$, först som rader i $A$ och sedan som kolonner i $G$. Det är samma sak som att multiplicera matrisen med dess transponat.  Varje element i den resulterande matrisen blir då:

$C_{ij}=\mathbf{e_i}\cdot \mathbf{e_j}=\delta_{ij}$

Där den sista likheten följer av att vektorerna $\mathbf{e}_k$ är parvis ortogonala med längden $1$. Naturligtvis är $\delta_{ij}$ bara elementen i enhetsmatrisen $E$.

En kvadratisk matris $A$ kallas ortogonal om $A^t A=AA^t=E$. Det är alltså samma sak som att säga att matrisens kolonner är parvis ortogonala och har längden $1$.

Jroth skrev:

Betrakta en matris $A$ som en samling radvektorer. När vi multiplicerar en sådan matris med en ny vektor $\mathbf{g}$ får vi

$A\mathbf{g}=\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{g_1\\g_2\\g_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a_{11}g_1+a_{12}g_2+a_{13}g_3\\a_{21}g_1+a_{22}g_2+a_{23}g_3\\a_{31}g_1+a_{32}g_2+a_{33}g_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}\\\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}\\\mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}}\end{array}\right]$

Där vi identifierade varje rad $\mathbf{a}_1=(a_{11}, a_{12}, a_{13})$ osv som en vektorer. Vi ser att den nya vektorn består av 3 skalärprodukter.

Nu gör vi nästan samma sak igen, fast  den här gången med två matriser.

Vi betraktar den första matrisen $A$ som en samling radvektorer $\mathbf{a}_n$, och den andra matrisen $G$ som en samling kolonnvektorer $\mathbf{g}_n$

$AG=\left[\begin{array}{ccc} -&\mathbf{a}_1&- \\ -&\mathbf{a}_2&-\\-&\mathbf{a}_3&-\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} |&|&| \\ \mathbf{g}_1& \mathbf{g}_2& \mathbf{g_3}\\ |&|&|\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_1\cdot \mathbf{g}_3\\\mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_2\cdot \mathbf{g}_3\\\mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_1 & \mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_2 & \mathbf{a}_3\cdot \mathbf{g}_3 \end{array}\right]$

Dvs varje element $C_{ij}$ ges av $\mathbf{a}_i\cdot \mathbf{g}_j$

Nu låter vi matriserna bestå av den ortogonala basen $\mathbf{e}_1,\dots \mathbf{e}_n$, först som rader i $A$ och sedan som kolonner i $G$. Det är samma sak som att multiplicera matrisen med dess transponat.  Varje element i den resulterande matrisen blir då:

$C_{ij}=\mathbf{e_i}\cdot \mathbf{e_j}=\delta_{ij}$

Där den sista likheten följer av att vektorerna $\mathbf{e}_k$ är parvis ortogonala med längden $1$. Naturligtvis är $\delta_{ij}$ bara elementen i enhetsmatrisen $E$.

En kvadratisk matris $A$ kallas ortogonal om $A^t A=AA^t=E$. Det är alltså samma sak som att säga att matrisens kolonner är parvis ortogonala och har längden $1$.

Tack, nu fattar jag!