Varför behöver det karaktäristiska polynomet splitta för att den ska vara diagonaliserbar?

Om två matriser är likformiga har de samma karaktäristiska polynom.

En diagonaliserbar  matris är likformig med någon diagonalmatris.

En diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar.

Så: En diagonaliserbar matris karaktäristiska polynom splittar.

Smutsmunnen skrev:

Om två matriser är likformiga har de samma karaktäristiska polynom.

En diagonaliserbar  matris är likformig med någon diagonalmatris.

En diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar.

Så: En diagonaliserbar matris karaktäristiska polynom splittar.

Kan du utveckla?

Vad menas med splittar? 

oneplusone2 skrev:

Vad menas med splittar? 

bara svengelska för engelska ordet "split" haha

Dualitetsförhållandet skrev:

Smutsmunnen skrev:

Om två matriser är likformiga har de samma karaktäristiska polynom.

En diagonaliserbar  matris är likformig med någon diagonalmatris.

En diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar.

Så: En diagonaliserbar matris karaktäristiska polynom splittar.

Kan du utveckla?

Vilken punkt behöver utvecklas?

oneplusone2 skrev:

Vad menas med splittar? 

Att polynomet kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i aktuellt fält.

Smutsmunnen skrev:

oneplusone2 skrev:

Vad menas med splittar? 

Att polynomet kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i aktuellt fält.

Varför en diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar?

Smutsmunnen skrev:

Om två matriser är likformiga har de samma karaktäristiska polynom.

En diagonaliserbar  matris är likformig med någon diagonalmatris.

En diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar.

Så: En diagonaliserbar matris karaktäristiska polynom splittar.

Vilken av punkterna är du vill ha en tydligare förklaring av?

Dualitetsförhållandet skrev:

Smutsmunnen skrev:

Visa föregående citat

oneplusone2 skrev:

Vad menas med splittar? 

Att polynomet kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i aktuellt fält.

Varför en diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar?

Om diagonalmatrisen har diagonalen $a_{11},a_{22},...,a_{nn}$så är det karaktäristiska polynomet:

$(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$

och därmed är vi klara.

Smutsmunnen skrev:

Dualitetsförhållandet skrev:

Visa föregående citat

Smutsmunnen skrev:

oneplusone2 skrev:

Vad menas med splittar? 

Att polynomet kan skrivas som en produkt av linjära faktorer i aktuellt fält.

Varför en diagonalmatris karaktäristiska polynom splittar?

Om diagonalmatrisen har diagonalen $a_{11},a_{22},...,a_{nn}$så är det karaktäristiska polynomet:

$(a_{11}-\lambda )(a_{22}-\lambda )...(a_{nn}-\lambda )$

och därmed är vi klara.

Tack. Då råkar jag ha en följdfråga, har en diagonaliserbar matris samma determinant som dess tillhörande diagonalmatris eller varför splittar den?

Som jag skrev som punkt ett så har två likformiga matriser samma karaktäristiska polynom.

Bevis: Antag $A=QB{Q}^{-1}$. Då är 

$$\begin{gathered} Det(A-\lambda I)=Det(QB{Q}^{-1}-\lambda I)=Det(QB{Q}^{-1}-\lambda Q{Q}^{-1})= \\ =Det(QB{Q}^{-1}-Q\lambda I{Q}^{-1})=Det\left(Q\right(B-\lambda I\left)Q^{-1}\right)= \\ =Det\left(Q\right)Det(B-\lambda I)Det\left(Q^{-1}\right)=Det\left(Q\right)Det\left(Q^{-1}\right)Det(B-\lambda I)= \\ Det(B-\lambda I) \end{gathered}$$

dvs de har samma karaktäristiska polynom. De har naturligtvis också samma determinant:

$Det\left(A\right)=Det\left(QB{Q}^{-1}\right)=Det\left(Q\right)Det\left(B\right)Det\left(Q^{-1}\right)=Det\left(B\right)$

men i det här sammanhanget är det som spelar roll att de har samma karaktäristiska polynom.