Varför blir koeffecienten k över n, binomialsatsen

Har du prövat att multiplicera ihop n stycken (a+b)?

Smaragdalena skrev:

Har du prövat att multiplicera ihop n stycken (a+b)?

 Ja, får att riktingsekoffecienten blir potensen på y? men hur vlir det k över n?

På hur många sätt kan man multiplicera ihop termen a eller b från n st paranteser (a+b) om de ska innehålla k st a (eller b) multiplicerade med varandra?

Notering: k kallas endast för riktningskoefficienten i räta linjens ekvation. 

parveln skrev:

På hur många sätt kan man multiplicera ihop termen a eller b från n st paranteser (a+b) om de ska innehålla k st a (eller b) multiplicerade med varandra?

 

Notering: k kallas endast för riktningskoefficienten i räta linjens ekvation. 

 ok! jag förstår inte riktigt hur du menar med att multiplicera ihop a eller b från n st (a+b)?

Om vi t ex tar $(a+b)^2$ så blir det $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st a? Bara ett sätt, aaa

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 2 st a och 1b? 3 olika sätt, aab, aba, baa

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 1 st a och 2 b? 3 olika sätt, abb, bab, bba

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st b? Bara ett sätt, bbb.

Smaragdalena skrev:

Om vi t ex tar $(a+b)^2$ så blir det $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st a? Bara ett sätt, aaa

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 2 st a och 1b? 3 olika sätt, aab, aba, baa

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 1 st a och 2 b? 3 olika sätt, abb, bab, bba

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st b? Bara ett sätt, bbb.

 jaha! tror jag förstår! tack så mycket! det enda som jag inte är helt med på är varför man har tex n över 2? är det då antalet kombinationer när vi har 2 y bland n paranteser? hur räknas då x med?

Du kan se $k$ som antalet faktorer b som finns med i varje term.

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st a? Bara ett sätt, aaa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=1$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 2 st a och 1b? 3 olika sätt, aab, aba, baa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 1 st a och 2 b? 3 olika sätt, abb, bab, bba.$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st b? Bara ett sätt, bbb. $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=1$

Smaragdalena skrev:

Du kan se $k$ som antalet faktorer b som finns med i varje term.

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st a? Bara ett sätt, aaa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=1$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 2 st a och 1b? 3 olika sätt, aab, aba, baa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 1 st a och 2 b? 3 olika sätt, abb, bab, bba.$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st b? Bara ett sätt, bbb. $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=1$

 då förstår jag, tack så mycket!

$\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)=(x+y)(xx+xy+yx+yy)=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy$

Smaragdalena skrev:

Du kan se $k$ som antalet faktorer b som finns med i varje term.

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st a? Bara ett sätt, aaa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)=1$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 2 st a och 1b? 3 olika sätt, aab, aba, baa. $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 1 st a och 2 b? 3 olika sätt, abb, bab, bba.$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=3$

På hur många sätt kan du multiplicera ihop 3 st b? Bara ett sätt, bbb. $\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=1$

 blev lite osäker på en grej igen nu., Betyder inte det att ordningen ej spelar roll när vi tar n över k? Då blir det väll bara ett sätt om det tex är 1st b och 2st a eftersom ordningen inte har betydelse? Annars förstår jag tänket eftersom alla ska multipliceras med varandra i paranteserna men att vi använder n över k gör mig lite osäker

xxy=xyx=yxx men de är tre stycken sammanlagt.

Smaragdalena skrev:

xxy=xyx=yxx men de är tre stycken sammanlagt.

 aa men hur kommer det sig att vi kan använda n över k för att ta fram hur många det är?

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ svarar på frågan "På hur många olika sätt kan jag välja $$a av $n$?", i det här fallet "På hur många olika sätt kan jag välja vilka k faktorer som skall ha värdet b av n faktorer totalt?".

Smaragdalena skrev:

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ svarar på frågan "På hur många olika sätt kan jag välja $$a av $n$?", i det här fallet "På hur många olika sätt kan jag välja vilka k faktorer som skall ha värdet b av n faktorer totalt?".

 jaha, jag trodde det var så fast att endast då ordningen inte spelar någon roll men så är det alltså inte?

Just eftersom ordningen inte spelar någon roll får vi $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ stycken likadana termer.

Smaragdalena skrev:

Just eftersom ordningen inte spelar någon roll får vi $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ stycken likadana termer.

Jaha, så antalet blir detsamma Tack igen!

Smaragdalena skrev:

xxy=xyx=yxx men de är tre stycken sammanlagt.

 Vi utgår från att $x$ och $y$ betecknar reella tal och eftersom multiplikation av reella tal är kommutativ så är $xxy=xyx=yxx$. 

Albiki skrev:

Smaragdalena skrev:

xxy=xyx=yxx men de är tre stycken sammanlagt.

 Vi utgår från att $x$ och $y$ betecknar reella tal och eftersom multiplikation av reella tal är kommutativ så är $xxy=xyx=yxx$. 

 jaha okej tack!