Varför fungerar integraler av areor annorlunda än integraler av "remsor"?

Jag förstår inte hur man lägger till text på bildinlägg.... Min fråga är: Jag har en uppgift som är att ta reda på volymen vatten i en boll med diametern 5. Vattnet ligger på botten av bollen och har djupet 2,5. Det jag inte förstår är varför volymen, när man placerar mittpunkten av bollen i origo, inte är 0. De adderade areorna under x-axeln borde väl vara negativa och "ta ut" de positiva areorna ovanför x-axeln. Det fungerar ju så med sinusfunktioner, integralen mellan två punkter dem kan vara 0 och man måste "akta sig" för att inte göra den till 0.

Jag tror jag förstår någonstans att det handlar om att det är en skillnad mellan "volymintegraler" och "areaintegraler". Men jag förstår inte hur.

En ”boll” som du nämner är en rotationskropp, här en cirkelskiva med ett segment som roterar och bildar en del av ”bollen” och det är den delens volym du ska beräkna. Man delar in kroppen i tunna cirkelskivor med arean pi•radien². Tänk på att ett tal upphöjt till två aldrig är negativ. Då kan du glömma problemen med tecken. Läs vidare i din kursbok för ma 4 hur man gör detta.