Varför gäller likhetstecknet?

blygummi skrev:

$\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\sin \left(2x\right)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(x\right)$

Varför gäller likhetstecknet ovan? Man bör utgå från vänsterled och jobba sig till högerledet, ej tvärt om. Jag har genom denna https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities sidan försökt att finna relevanta utvecklingar av uttrycket $\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\sin \left(2x\right)$ men lyckades ej. Utveckling tillhör följande lösningsförslag: http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma976/1819/solution180112.pdf

Dubbla vinkeln av "$\sin \left(2x\right)$" tar mig endast till föregående steg. Jag känner till att $\cos {\left(x\right)}^2=\frac{1}{2}\left(1+\cos \left(2x\right)\right)$ vilket jag ser kan skrivas om till exempelvis, $\frac{1}{2}\cos \left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{8}\left(1+\cos \left(2x\right)\right)}=\sqrt{\frac{1}{8}\left(2(1-2\sin \left(x\right)\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}(1-2\sin \left(x\right))}$ dock tyckte jag inte att denna substitutionen hjälpte mig något vidare. Jag har försökt att dela upp vinklarna "x" och "2x" och sedan utveckla med additions och subtraktionssatserna men även det utan att önskvärt resultat. 

Tack för er assistans i förväg.

"Visa att A = B"

Det spelar ingen som helst roll om du utgår från A eller från B. (Det inser man eftersom A = B innebär att B = A.)

Så utgå du från HL och använd t.ex. additionsformeln för sinus för att skriva om sin(3x).

Yngve skrev:

blygummi skrev:

$\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\sin \left(2x\right)=\frac{1}{4}\sin \left(3x\right)+\frac{1}{4}\sin \left(x\right)$

Varför gäller likhetstecknet ovan? Man bör utgå från vänsterled och jobba sig till högerledet, ej tvärt om. Jag har genom denna https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities sidan försökt att finna relevanta utvecklingar av uttrycket $\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\sin \left(2x\right)$ men lyckades ej. Utveckling tillhör följande lösningsförslag: http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma976/1819/solution180112.pdf

Dubbla vinkeln av "$\sin \left(2x\right)$" tar mig endast till föregående steg. Jag känner till att $\cos {\left(x\right)}^2=\frac{1}{2}\left(1+\cos \left(2x\right)\right)$ vilket jag ser kan skrivas om till exempelvis, $\frac{1}{2}\cos \left(x\right)=\sqrt{\frac{1}{8}\left(1+\cos \left(2x\right)\right)}=\sqrt{\frac{1}{8}\left(2(1-2\sin \left(x\right)\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}(1-2\sin \left(x\right))}$ dock tyckte jag inte att denna substitutionen hjälpte mig något vidare. Jag har försökt att dela upp vinklarna "x" och "2x" och sedan utveckla med additions och subtraktionssatserna men även det utan att önskvärt resultat. 

Tack för er assistans i förväg.

"Visa att A = B"

Det spelar ingen som helst roll om du utgår från A eller från B. (Det inser man eftersom A = B innebär att B = A.)

Så utgå du från HL och använd t.ex. additionsformeln för sinus för att skriva om sin(3x).

Yngve, om du öppnar dokumentet så ser du att uppgiften handlar om en differentialekvation. Jag visste inte att vänsterled var lika med högerled till en början. Högerledet var en omskrivning av vänsterledet. Jag är intresserad att nå högerledet. Men du kanske tänker att jag borde jobba bakifrån? Skriva om sin(3x), memorera den omskrivningen och nästan gång skriva om vänsterledet till högerledet. Är det så du tänker?

Alternativt kan du utveckla VL medelst Eulers formel:

$\frac{1}{2}\cos \left(x\right)\sin \left(2x\right)=\frac{1}{2}\cos \left(2x\right)\sin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(x\right)$, detta är vad jag har fått efter att utvecklat sin(3x) enligt, sin(2x+x) och fick uttrycket ovan. Tips på hur jag kan komma vidare? Jag ska testa att utveckla vänsterled med komplexa tal, men det känns lite främmande att göra något sånt! Men antar att det kan vara ett bra verktyg i verktygslådan!

Om du utgår från additions- och subtraktionsformlerna för sinus så har du att

$\sin(A+B)= \sin A \cos B + \cos A \sin B$

och

$\sin(A-B)= \sin A \cos B - \cos A \sin B$

Lägg ihop ledvis:

$\sin(A+B)+\sin(A-B) =2\sin A \cos B$

Med A = 2x och B = x så är det här i princip vad du vill visa.

blygummi skrev:

Yngve, om du öppnar dokumentet så ser du att uppgiften handlar om en differentialekvation. Jag visste inte att vänsterled var lika med högerled till en början. Högerledet var en omskrivning av vänsterledet. Jag är intresserad att nå högerledet. Men du kanske tänker att jag borde jobba bakifrån? Skriva om sin(3x), memorera den omskrivningen och nästan gång skriva om vänsterledet till högerledet. Är det så du tänker?

OK, då missuppfattade jag din fråga  Jag trodde att du bara ville visa att likheten gällde, men att du trodde att man alltid bör visa att HL följer av VL.

Den intressanta frågan (enligt min åsikt) är "Hur kommer man på idén att det är HL man vill ha, när man har VL?". Eftersom du håller på med diffekvationer, borde det vara en väsentlig skillnad att VL är en produkt medan HL är en summa - och summor är mycket trevligare att integrera (derivera också). Men facit kunde ha kostat på sig en rad om varför och hur man gör omskrivningen.

Smaragdalena skrev:

Den intressanta frågan (enligt min åsikt) är "Hur kommer man på idén att det är HL man vill ha, när man har VL?". Eftersom du håller på med diffekvationer, borde det vara en väsentlig skillnad att VL är en produkt medan HL är en summa - och summor är mycket trevligare att integrera (derivera också). Men facit kunde ha kostat på sig en rad om varför och hur man gör omskrivningen.

Okej! Tack för informationen. På tal om differentialekvationer, i det lösningsförslaget (fråga 1) som jag länkade till valde att efter användandet av förskjutningsregeln göras sig av med sista termen $i^{2}z$, vad beror detta på och hur ska jag veta när och hur många termer man bör plocka bort? Blir partikulär-lösningen (och därmed hela lösningen till differentialekvationen) felaktig om jag behåller $i^{2}z$ och hädan efter alstrar $y_{p2}=\frac{-1}{4}\sin \left(x\right)$?

Bumpar min tråd.