Varför påverkas inte fördelningen av att en av medelvärdena multipliceras med en konstant?

Det är bara att applicera formeln på variablerna $X_i'=2X_i$ och $Y$. Då är $X_i'\sim N(2\mu_X,\sigma)$ och $\overline{X'} =2\overline{X}$.

Variansen/standardavvikelsen påverkas också väl? 

Aha ja, om $V(X_i) =\sigma^2$ så skulle $V(X_i')=4\sigma^2$, det är riktigt. Jag ser dock inte var formeln används i facit.

Jaja, just ja,  jag kan se varför rotutrycket försvinner i nämnaren då, det verkar väl rimligt nu när $\sigma^2 \sim s^2$ i den nya situationen.

Däremot, hur kan man veta att det fortfarande är $\in t(n_1+n_2-2)$?

Nu vet jag inte vilken omfattning er kurs är, men vår föreläsare sa att det inte finns något bra sätt att förklara det om man inte går igenom hela beviset. Om det är en grundläggande kurs i statistik får man nog bara köpa att det är så, tråkigt nog.

Om jag inte är ute och cyklar är det så att nämnaren råkar bli exakt S i nämnaren är lite av en slump, det gäller inte generellt utan det var för att $n_x$ och $n_y$ är vad de är i detta fall. Och det du ska tänka står i nämnaren är standardavvikelsen av $2\bar X - Y$ med $\sigma$ skattad som S. Och i detta fall råkade det bli exakt S.

MrPotatohead skrev:

Nu vet jag inte vilken omfattning er kurs är, men vår föreläsare sa att det inte finns något bra sätt att förklara det om man inte går igenom hela beviset. Om det är en grundläggande kurs i statistik får man nog bara köpa att det är så, tråkigt nog.

Jo, jag hade gärna bara köpt det, men tyvärr har någon sådan här sats aldrig gåtts igenom under föreläsningarna.

Blir satsen då att för det som står i mitt formelblad för kursen (de punkterna som jag ringat in i rött)

så skulle exempelvis $\frac{\bar{2X} - 2\mu}{2S/\sqrt n}$ (en linj. komb av medelvärdet av oberoende normalfördelade stokastiska variabler, jämför med formel §11.1d), fortfarande vara $\in t(n-1)$?

Eller är det ett för allmän resultat?

Du kan se att du kan bryta ut en tvåa ur både täljare och nämnare, så den variabeln du skrivit är samma variabel som om du skippat multiplikation med 2. Så den är alltså fortfarande t(n-1)-fördelad.