Varibel byte

Innan variabelbytet är gränserna för integralen x=1 och x=2.

Efter variabelbytet blir gränserna med u=1+4x² därför 1+4*1²=5 och 1+4*2²=17.

Magnus O skrev:

Innan variabelbytet är gränserna för integralen x=1 och x=2.

Efter variabelbytet blir gränserna med u=1+4x² därför 1+4*1²=5 och 1+4*2²=17.

Jag förstår det, men jag kan inte förstå varför det är så. Kan du hänvisa till någon film eller illustrera det med en enkel bild. Det finns massa filmer men ingen illustrerar varför man utför bytet med bild. 

Plugga12 skrev:

Magnus O skrev:

Innan variabelbytet är gränserna för integralen x=1 och x=2.

Efter variabelbytet blir gränserna med u=1+4x² därför 1+4*1²=5 och 1+4*2²=17.

Jag förstår det, men jag kan inte förstå varför det är så. Kan du hänvisa till någon film eller illustrera det med en enkel bild. Det finns massa filmer men ingen illustrerar varför man utför bytet med bild. 

En variabelsubstitution är en form av koordinattransformation.

Om man genomför variabelsubstitutionen $u=2x$ betyder det att man "tänjer ut" integrationsområdet i det nya u-systemet. Se den övre bilden nedan. Notera hur markeringarna för $x=1,2,3$ tänjs ut och hur det blå integrationsområdet blir längre.

Man kan också genomföra andra transformationer, t.ex. $u=x^2$. Nu kommer området tänjas ut mer och mer, de 3 markeringarna för $x=1,2,3$ får ett progressivt större avstånd mellan varandra.

Man kan också "flytta" hela den blå remsan åt höger genom att helt enkelt lägga till en konstant, t.ex. $x^2+1$. Testa att rita ett sådant diagram.

Slutligen kan du göra en egen bild av transformationen $u=1+4x^2$ Hur långt blir det blå området då om det ska ligga mellan $x=1$ och $x=2$?

Tillägg: Om det kan vara till någon tröst går man igenom koordinattransformationer lite mer noggrant i senare kurser där integrationsområdet inte bara består av ett blått band utmed en axel, utan kan anta flera olika former i t.ex. planet. Paradoxalt nog är det ofta lättare att förstå hur området tänjs, vrids och förändras då.

D4NIEL skrev:

En variabelsubstitution är en form av koordinattransformation.

Om man genomför variabelsubstitutionen $u=2x$ betyder det att man "tänjer ut" integrationsområdet i det nya u-systemet. Se den övre bilden nedan. Notera hur markeringarna för $x=1,2,3$ tänjs ut och hur det blå integrationsområdet blir längre.

Man kan också genomföra andra transformationer, t.ex. $u=x^2$. Nu kommer området tänjas ut mer och mer, de 3 markeringarna för $x=1,2,3$ får ett progressivt större avstånd mellan varandra.

Man kan också "flytta" hela den blå remsan åt höger genom att helt enkelt lägga till en konstant, t.ex. $x^2+1$. Testa att rita ett sådant diagram.

Slutligen kan du göra en egen bild av transformationen $u=1+4x^2$ Hur långt blir det blå området då om det ska ligga mellan $x=1$ och $x=2$?

Tillägg: Om det kan vara till någon tröst går man igenom koordinattransformationer lite mer noggrant i senare kurser där integrationsområdet inte bara består av ett blått band utmed en axel, utan kan anta flera olika former i t.ex. planet. Paradoxalt nog är det ofta lättare att förstå hur området tänjs, vrids och förändras då.

Tack så mycket. Jag förstår bättre nu.