Vatten kon

Ta det mer systematiskt. Kan du börja med att bara teckna ett uttryck för vattenvolymen givet ett visst vattendjup?

Stokastisk skrev :

Ta det mer systematiskt. Kan du börja med att bara teckna ett uttryck för vattenvolymen givet ett visst vattendjup?

Vattenvolymen är (formeln för volymen av av en kon) 

sedan om man vill ha vattnets volym vid en viss höjd/ ett djup så stoppar man in ett värde på h. 

Jo, visst men kan du skriva ut en funktion för det? Nu har du skrivit ett uttryck där du har r och h, men r beror väl på vad h är? Kan du skriva ett uttryck där du bara har h?

Stokastisk skrev :

Jo, visst men kan du skriva ut en funktion för det? Nu har du skrivit ett uttryck där du har r och h, men r beror väl på vad h är? Kan du skriva ett uttryck där du bara har h?

Jaha, eftersom radien är konstant så skriver man bara in det. Och höjden är inte konstant på vattnets volym. 

Nej den är inte konstant, när vattenytan sjunker så kommer också basytan för vattnet att minska. Det är endast när hela tanken är full som basytan har radien 2.6 dm.

Stokastisk skrev :

Nej den är inte konstant, när vattenytan sjunker så kommer också basytan för vattnet att minska. Det är endast när hela tanken är full som basytan har radien 2.6 dm.

Oj trodde att det var en cylinder. Jag visste att det var en kon men förvirrade mig själv.

Hej!

Vid tidpunkten $t$ har vattnet formen av en kon vars höjd är $h(t)$ och vars bas har radien $r(t)$. Vattnets volym $V(t)$ kan beräknas som

    $V(t) = \frac{1}{3}\pi r^2(t)h(t).$

Vid varje tidpunkt är vattnets form likformig med tankens form. Det betyder att förhållande mellan vatten-konens radie och vatten-konens höjd är konstant, lika med kvoten $2.6/5.2 = 0.5.$ Det medför att vid varje tidpunkt är $r(t) = 0.5 h(t)$ vilket låter dig uttrycka volymen

    $V(t) = \frac{\pi}{12}h^3(t).$ 

Kedjeregeln ger derivatan $V'(t) = \frac{\pi}{4}h^2(t) \cdot h'(t)$ från vilken du kan bestämma derivatan $h'(t).$

Albiki

Stokastisk skrev :

Ta det mer systematiskt. Kan du börja med att bara teckna ett uttryck för vattenvolymen givet ett visst vattendjup?

Vill du att jag ska räkna ut volyme för vattnet när den har djupet 3,9? Alltså höjden på vattenkonan är 3,9 då. Radien är okänd. 

MattePapput skrev :

Stokastisk skrev :

Ta det mer systematiskt. Kan du börja med att bara teckna ett uttryck för vattenvolymen givet ett visst vattendjup?

Vill du att jag ska räkna ut volyme för vattnet när den har djupet 3,9? Alltså höjden på vattenkonan är 3,9 då. Radien är okänd. 

Nej, jag vill att du ska räkna ut den givet att vattendjupet är h dm.

Tänk på att radien hela tiden växer lika mycket, det är alltså som en rät linje. Du vet att när h = 0 så är radien = 0, då h = 5.2 så är radien = 2.6. Därför får man att radien på vattenytan är

$r = \frac{2.6}{5.2}h = h/2$

Så man kan därför använda att volymen ges av

$V(h) = \frac{\pi r^2 h}{3} = \frac{\pi h^3}{4\cdot 3} = \frac{\pi h^3}{12}$

Går det lite enklare?

basradie längst uppe h=5.2 -> r=2.6 enheter

basradie lite lägre h=3.9 -> r = 2.6 * 3.9/5.2 = 1.95 enheter

area där = PI*r^2 = 11.95 kvadrat-enheter

pumpen tillför: V (volym) / t (tid) = 2.6 kubik-enheter / min

v (hastighet) = s (sträcka) / t (tid) = (V (volym) / a (area) ) / t = (V / t) / a

v = 2.6 kubik-enheter / min / 11.95 kvadrat-enheter = 0.22 enheter / min

Nvm.

Vad säger facit?