13 svar
115 visningar
Alex; är nöjd med hjälpen
Alex; 287
Postad: 2 jan 2022 20:51

Vattendjupet

Vattendjupet y m vid en kaj ändras på grund av tidvattnet enligt ekvationen y = 5+2cos(pi(t-2)/(6)). t är timmar från midnatt. 
b) Bestäm när vattendjupet stiger respektive sjunker som snabbast samt hur fort djupet ändras.

Har bestämt y’max och y’min till funktionen. Vad ska jag göra sen?

Alex; 287
Postad: 2 jan 2022 20:52

Yngve Online 38569 – Livehjälpare
Postad: 2 jan 2022 21:06 Redigerad: 2 jan 2022 21:08

Du har bestämt det största och minsta värde som y'(t) antar.

Du ska även bestämma tidpunkterna då y'(t) antar dessa värden 

Alex; 287
Postad: 2 jan 2022 21:11
Yngve skrev:

Du har bestämt det största och minsta värde som y'(t) antar.

Du ska även bestämma tidpunkterna då y'(t) antar dessa värden 

Att bestämma tidpunkterna var a) uppgiften. Här har jag svaret.

Nej a-uppgiften verkar handla om mellan vilka tidpunkter som en båt kan lägga till, inte vid vilka tidpunkter som vattendjupet stiger/sjunker som snabbast.

Om du skrev av uppgiften korrekt så är det just i b-uppgiften som dessa tidpunkter efterfrågas:

b) Bestäm när vattendjupet stiger respektive sjunker som snabbast samt hur fort djupet ändras.

Alex; 287
Postad: 3 jan 2022 09:39
Yngve skrev:

Nej a-uppgiften verkar handla om mellan vilka tidpunkter som en båt kan lägga till, inte vid vilka tidpunkter som vattendjupet stiger/sjunker som snabbast.

Om du skrev av uppgiften korrekt så är det just i b-uppgiften som dessa tidpunkter efterfrågas:

b) Bestäm när vattendjupet stiger respektive sjunker som snabbast samt hur fort djupet ändras.

Ska jag likställa derivatan med det största och det minsta värde?

Smaragdalena 79420 – Lärare
Postad: 3 jan 2022 09:55 Redigerad: 3 jan 2022 09:56

Du skall ta reda på när ändringen är som störst, alltså när andraderivatan är lika med 0 (d v s när förstaderivatan har extremvärde) och vilket värde förstaderivatan har vid dessa tidpunkter.

Eftersom det är en trigonometrisk funktion i just det här fallet kan man fundera ut när förstaderivatan är maximal/minimal utan att behöva derivera den en gång till.

Det är enklare än så. Du har redan konstaterat att

  • y'max inträffar då sinusuttrycket har värdet -1. När har ett sinusuttryck värdet -1?
  • y'min inträffar då sinusuttrycket har värdet 1. När har ett sinusuttryck värdet 1?
Alex; 287
Postad: 3 jan 2022 10:43

Då kan jag istället för att derivera en gång till undersöka när det som finns inuti parentesen blir 1 och -1, och lösa ut x-värdet.

Det som gjorde mig förvirrad var att jag löste en likadan uppgift på ett annat sätt. Då hade jag först tagit reda på funktionens derivata och angett det största och minsta värdet samt likställt maxvärdet med funktionens derivata.

Jag gjorde som följande:

y(x)=5.51sin(0,017165x-1,394)+12,25 så

y'(x)= 5,51cos(0,017165x-1,394)*0,017165,

Efter förenkling:

Y'(x)=0,095cos(0,017165x-1,394).

Y'max inträffar när cosinusuttrycket är 1.

Y'max = 0,095*1=0,095. 

sedan sätter jag derivatan lika med maxvärdet och får att

0,095=0,095cos(0,017165x-1,394)

När jag deviderar med 0,095, så får jag att

Cos(0,017165x-1,394)=1. 

Jag kan se att jag borde direkt sätta cosinusuttrycket lika med 1 istället för att dividera med 0,095, men hur ska jag veta att den ena uppgiften kan lösas på ett sätt medan den andra på ett annat? 

Båda uppgifterna kan lösas på båda sätten.

Programmeraren 3387
Postad: 3 jan 2022 11:25 Redigerad: 3 jan 2022 11:26

... men hur ska jag veta att den ena uppgiften kan lösas på ett sätt medan den andra på ett annat? 

Rent generellt hittar man max- och minpunkter genom att derivera och sätta lika med 0.
När man har rena sin eller cos behöver man inte göra det eftersom man vet att t ex sin har max-värdet 1 för vinkeln pi/2.

När de frågar efter när "vattendjupet stiger respektive sjunker som snabbast" är det då derivatan har ett max- respektive minvärde eftersom om y(t) ger djupet så är y'(t) djupets förändring med avseende på tiden, dvs hastigheten.

Du då antingen derivera och sätta lika med 0, dvs lösa y''(t)=0 eller använda att du vet när sin() har sitt maxvärde som Yngve tipsar om i #8.

Du har deriverat och kommit fram till uttrycket för hastigheten:
y'(t)=-pi/3*sin(pi(t-2)/6))
y'(t) har sitt maxvärde då sin()=-1
sin(v)=-1 då v=3pi/2.
Du får då ekvationen:
pi(t-2)/6=3pi/2
t=11

På samma sätt har y'(t) sitt minvärde då sin(v)=1 vilket inträffar då v=pi/2, då kan du beräkna t där hastigheten är minst.

Du bör inte använda avrundade värden, uträkningen blir svårare att följa och risken för fel ökar.

Alex; 287
Postad: 3 jan 2022 13:06

Nu har jag provat lösa de två uppgifterna på båda sätten och får samma svar. Jag har lyckligtviis lärt mig båda två metoderna, men undrar om de alltid gäller när det handlar om sin och cos. Båda fungerar i båda fallen, men kan någon metod vara svårare eller lättare än den andra om man stöter på andra uppgifter än de jag löst?

Tack för hjälpen!! 

Smaragdalena 79420 – Lärare
Postad: 3 jan 2022 13:46

Metoden med andraderivatan fungerar i fler fall. Handlar det om trigonometriska funktioner är oftast den andra metoden enklare (tycker jag).

Programmeraren 3387
Postad: 3 jan 2022 13:54 Redigerad: 3 jan 2022 13:55
Alex; skrev:

Båda fungerar i båda fallen, men kan någon metod vara svårare eller lättare än den andra om man stöter på andra uppgifter än de jag löst?

Som Smaragdalena säger så är derivata och andraderivatan den generella metoden.
Funktioner där man enkelt kan se vilket argument till sin/cos som ger min eller max ger möjlighet till "genvägen", t ex A+Bsin(Cx+D).

Det viktigaste är att tänka igenom vad man gör och inte bara upprepa ett visst sätt. T ex har f(x)=x+sin3x endast lokala min/max-punkter och då måste man använda den generella metoden.

Svara Avbryt
Close