5 svar
113 visningar
Louiger 500
Postad: 4 dagar sedan

Vektoranalys i rummet

Snälla kan någon förklara med enkla ord mer specifikt när resp sats (se nedan). Jag har diverse funktionshinder som ställer till det när jag läser och ska ska förstå text. Just nu räcker det inte med boken och youtube för att "aha" ska infinna sig. Jag rör ihop begrepp och det känns som jag famlar i blindo. För mig brukar det lösa sig om jag gör uppgifter och på så sätt lär mig förstå genom dem, men det har inte hjälp i detta kapitel.

 

*rot(vad är det igentligen jag får reda på, vad är skillnaden mellan rotF och divF, nar går det inte att använda? etc)

*divF

*ndS (map dS, fattar att n är normalen)

*Stokes sats (när använda/inte använda, skillnad mellan gauss och stokes)

*Gauss sats

Peter 194
Postad: 4 dagar sedan

Det är svårt att förklara komplexa begrepp med enkla ord. Googla lite på t.ex. "physical interpretation of divergence" etc. Divergens är väl det enklare av div/rot att få grepp om. Vi är ju inte så vana att tänka i vektorfält inte skalärfält heller kanske.
Jag har inget bra enkelt svar åt dig. Du får nog lägga den tid som krävs för att få antingen en slags fysikalisk förståelse eller "bara" en matematisk vana att hantera begreppen. Detsamma gäller satserna. Googla på exempel och övningar om inte övningarna i boken duger.

Flezer 27
Postad: 4 dagar sedan

Kan varmt rekommendera materialet på https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus där finns väldigt bra videos för de flesta av sakerna du frågar efter och de hjälpte mig mycket när jag läste bl.a. flervariabelsanalys

dr_lund 1074 – Mattecentrum-volontär
Postad: 3 dagar sedan Redigerad: 3 dagar sedan

Som tidigare sagts i denna tråd är det inte helt enkelt att kort sammanfatta dessa viktiga komponenter i vektoranalysen.

Jag gör ett litet försök.

Så Gauss sats skapar en  "länk" mellan en volymsintegral och en flödesintegral över en sluten yta.

Stokes' sats så att säga "tar bort" en dimension på divergenssatsen och länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S.

LFdr=SrotFn^dS=S×Fn^dS\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}=\iint\limits_{S}rot\,\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS.

Anm ×F\nabla\times\mathbf{F} är ett vektorfält.

 

Hoppas du någorlunda förstod.

Louiger 500
Postad: 2 dagar sedan
dr_lund skrev:

Som tidigare sagts i denna tråd är det inte helt enkelt att kort sammanfatta dessa viktiga komponenter i vektoranalysen.

Jag gör ett litet försök.

Så Gauss sats skapar en  "länk" mellan en volymsintegral och en flödesintegral över en sluten yta.

Stokes' sats så att säga "tar bort" en dimension på divergenssatsen och länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S.

LFdr=SrotFn^dS=S×Fn^dS\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}=\iint\limits_{S}rot\,\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS=\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{n}}\, dS.

Anm ×F\nabla\times\mathbf{F} är ett vektorfält.

 

Hoppas du någorlunda förstod.

Tack! 🙏 ja det blir tydligare. Allt handlar om att beräkna flödet, men med olika metoder. Stokes sats greppar jag inte helt trots jag gett mig på alla uppg i kaptlet (därmed inte klarat alla) för att försöka förstå. Jag är med på att den tar bort en dimension på divergensen, men när jag kommer hit

"länkar en flödesintegral över en icke-sluten yta S med en kurvintegral över den slutna kurva L som omgärdar S."

Har jag väldigt svårt att greppa. Har du eller ngn möjlighet att förklara, för jag kan inte alls "se"/föreställa mig vad det är som eg händer.

dr_lund 1074 – Mattecentrum-volontär
Postad: 2 dagar sedan Redigerad: 2 dagar sedan

Okej, lite mer info om Stokes' sats.

I figuren har vi ytan S med positivt orienterade randkurvan L.

Stokes' sats: S×FdS=LFdr\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet d\mathbf{S}=\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r}.  (I figuren: dS=N^dSd\mathbf{S}=\mathbf{\hat{N}} dS)

Anm: Precis som med divergenssatsen, noterar vi "likheterna" med integralkalkylens välkända

x1x2dfdxdx=f(x2)-f(x1)\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{df}{dx}\, dx=f(x_2)-f(x_1).

Då vi integrerar en derivata över ett område, reduceras beräkningen till att bara bero på funktionens värden på områdets rand.

Intuitiv tolkning av ×F\nabla\times\mathbf{F}: Det är ett mått på den lokala rotationen. (Typ skovelhjul i 2-dim flöde)

Jag skulle vilja att du funderar vidare på detta lilla problem: Anta att F=x2xz2xz\mathbf{F}=\begin{bmatrix}x^2\\xz^2\\xz\end{bmatrix}, och

L är enhetscirkeln i planet z=1, dvs  L:{x2+y2=1,  z=1}L:\{x^2+y^2=1,\quad z=1\}, positivt orienterad sett uppifrån. L genomlöps ett varv.

Beräkna:

(1): LFdr\oint\limits_{L} \mathbf{F}\bullet d\mathbf{r} (parametrisera L, dr=r'(t)dtd\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\, dt),

(2) Använd Stokes' sats S×FN^dS\iint\limits_{S}\nabla\times\mathbf{F}\bullet \mathbf{\hat{N}}\, dS.

Svaret i bägge fallen ska förstås bli detsamma, nämligen π\pi.

Svara Avbryt
Close