Vektoranalys: identifiera käll- och rotationsfria fält

Det tycker jag med :)

Nice! Jag vill bara en till oberoende tredjeparts bekräftelse

Det här är fältet Curly, $f(\rho,\alpha,z)=\frac{\hat{\alpha}}{\rho}$

Fältet Curly; till vänster visar pilarna fältstyrkan, till höger endast riktningen.

Är det rotationsfritt? Vad har det för divergens?

Edit: Om man zoomar in på ett område ser Curly ut så här:

Curly i förstoring, vektorpilarnas storlek representerar fältstyrka

Jag förstår inte vad för koordinater det är! Cylinder? Med vinkel alpha, radie rho och höjd z?

Är det en så kallad vanishing vector field? 

Är inte det samma som magnetfältet alstrat av en rak ledare?

Ja, det är cylinderkoordinater i basen $\hat{\rho}$, $\hat{\alpha}$, $\hat{z}$.

Och ja, det är en exakt form utanför origo, och ja, det är ett magnetfält alstrat av en ledare :)

Mycket bra!

Fältet ser ut att snurra runt runt en hel del, åtminstone om man får tro fältbilderna. Jämför med fältet du ritade ovan (B och C)

Men faktum är att rotationen är 0 utanför z-axeln, $\nabla \times f=0$

Divergensen för fältet är också $\nabla\cdot f=0$

En fältbild kan alltså ge en fingervisning om divergens/rotation, men det kan vara bedrägligt och det är viktigt att inse att såväl rotation- som divergens är lokala egenskaper hos fältet.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Och för att återknyta till ditt pågående tensoräventyr:

Fältet Curly som kovariant tensor är u=(0,1,0) ty $\frac{\hat{\alpha}} {\rho}$ är en ju kontravariant basvektor i cylinderkoordinater.

Rotationen ges av $(\nabla \times f)^k=\frac{\varepsilon^{ijk}}{\sqrt{g}}\partial_iu_j=0$

Eftersom $u_i$ är konstant.

Jaså, du ville lura mig! Rotationen och divergemsen är 0 överallt där vektorfältet existerar kan vi säga. 

------

Va? Är hela fältet en tensor?

Qetsiyah skrev:

 

Va? Är hela fältet en tensor?

Ja, eller mer egentligt ett tensorfält. Varje komponent av tensorn är nu en funktion av koordinaterna $x^q$ för varje punkt i den  punktmängd i $E_3$ för vilka de är definierade.

I de flesta fall skiljer man inte mellan tensor och tensorfält. Man säger t.ex. den metriska tensorn, men menar egentligen det metriska tensorfältet osv. Ett annat exempel är gradienten av en skalär funktion $\phi$. Det fältet skrivs som

$(\nabla \phi)_i=\partial_i \phi$

Notera index nedtill => kovariant vektor