Vektorer, linjärt beroende

Finns det något a för vilket vektorerna (a, -2) och (1, a-1) är linjärt beroende?

Jag har svårt att lösa detta stiligt.

Fula lösningen

Det jag kan säga är att vektorerna måste vara byggda så att rätt koefficienter kan få dem att peka åt samma håll, i bemärkelsen att om vektor ett är (negativ, negativ) så måste vektor två vara (negativ, negativ) eller (positiv, positiv).

Om a är 1 så blir det (positiv, negativ) och (positiv, 0)
Om a är större än 1 så blir det (positiv, negativ) och (positiv, positiv)
Om a är 0 så blir det (0, negativ) och (positiv, negativ)
Om a är mindre än 0 så blir det (negativ, negativ) och (positiv, negativ)

Då återstår alltså att kolla mellan 0 och 1. Vi kan ta t.ex. 0,5 och då få (positiv, negativ) och (positiv, negativ). Men värdena är (0,5; -2) och (1, -0,5). Med en koefficient på 2 för den första vektorn blir de första värdena lika stora, men de andra skiljer sig med en faktor 8.

Det här räcker för att korrekt svara nej på frågan, men det känns inte precis rigoröst.

Finare lösningen

Det känns som om allt egentligen bara handlar om gausseliminering:

$$\begin{gathered} x(a-2)+y(1, a-1)=0 \\ \left\{\begin{array}{l}xa+y=0\\ -2x+ya-y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Men, detta lider av det lilla problemet att jag inte klarar dra några slutsatser ur systemet.