Vektorer: Tyngdpunkt för en tetraeder

O är en godtycklig men fix punkt i rummet.

Låt ABCD vara en tetraeder. Sammanbindingslinjen mellan ett hörn och motstående sidas tyngdpunkt kallas för en median. Låt A1 vara tyngdpunkten i triangeln BCD och låt M vara den punkt som delar medianen AA1 i förhållandet 3:1. Visa att

$\vec{O M} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

Min första tanke var att eftersom A1 är tyngpunkt i BCD så gäller att

$\vec{O A 1} = \frac{1}{3} (\vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

Sen kan vi säga att

$\vec{O M} = \vec{O A 1} + \vec{A 1 M}$

Det tar stopp när jag ska göra något vettigt av den andra termen. Har utforskat några steg på följande spår:

$\vec{A 1 M} = \frac{1}{4} \vec{A A 1} = \frac{1}{3} \vec{A M} = \frac{1}{3} (\vec{O M} - \vec{O A})$

Men jag ser nu när jag skriver det att detta inte ens stämmer, för vektorerna byter håll. I vilket fall ledde inte någon version av detta till en lösning.

Löste:

$\vec{A 1 M} = \frac{1}{4} \vec{A 1 A} \vec{A 1 A} = \vec{O A} - \vec{O A 1} \vec{A 1 M} = \frac{1}{4} (\vec{O A} - \vec{O A 1})$

Och eftersom

$\vec{O A 1} = \frac{1}{3} (\vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D})$

så gick allt bra därifrån =)

Svara