Vektorrum

Hej. Jag funderar över om jag tänkt rätt på följande uppgift:

Visa att om $N\left(AB\right)=N\left(B\right)$ så är $R\left(B\right)\cap N\left(A\right)=\left\{\mathbf{0}\right\}$.

Vi väljer en vektor i snittet

$\mathit{v}\in R\left(B\right)\cap N\left(A\right) \Rightarrow \mathit{v}=B\mathit{u} och A\mathit{v}=\mathbf{0}$

Enligt antagandet gäller att

$N\left(AB\right)=N\left(B\right) \iff AB\mathit{x}=B\mathit{x}=\mathbf{0}$

Alltså gäller

$A\mathit{v}=\mathbf{0}\mathbf{ }och\mathbf{ }A\left(B\mathit{x}\right)=\mathbf{0} \Rightarrow \mathit{v}\mathbf{ }=\mathbf{ }B\mathit{x}\mathbf{ }=\mathbf{ }\mathbf{0}$

Ser detta rätt ut?