Vilka värden gör att en integral konvergerar

Som ledning hintar om börjar jag såhär:

$= \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} x^{1 - a} + \int_{1}^{\infty} x^{- a} \sin x$

Här vet jag att första delintegralen går mot 1 som uppgiften nämner. Sen blir jag osäker. sinx kommer pendla mellan -1 och +1. Facit verkar använda medelvärdessatsen men jag hänger inte alls med om bakåtliggande tanke eller hur man skulle ens ha kommit fram till det.

Visa spoiler

Hur ska man tänka för att nå fram till rätt metod? Hur ska man tolka svaret?

Det jag skulle använda för att lösa denna är följande sats (som är integralmotsvarigheten till en satsen i detta svar):
Om $f(x)=(\sin x)/x^a$ så stämmer kravet för positivitet när $x$ är litet (mindre än $\pi$ räcker). Här kan man jämföra med någon $x^b$ funktion och få ett krav på konvergens. Det blir essentiellt samma sak som ditt länkade lösnigsförslag gör genom att motivera att $(\sin x)/x$ beter sig typ som en konstant nära $0$ .

För den "oändliga" delen skulle jag göra samma som facit. Huvudsyftet med den partiella integrationen är att få två krav på $a$ . Man kan göra exakt samma resonemang som facit gör efter partialintegrationen för att få fram att om $a>1$ så är integralen konvergent, men vi ser att det inte är hela storyn då den konvergerar om $a>0$ .

Efter partiell integration får man en integral som ser typ likadan ut som den man började, men man har också den här $\cos(T)/T^a$ -termen som inte är konvergent om $\alpha\leq 0$ . Det ger ett krav på divergens, vilket är viktigt!

Vet inte om det ovan om den oändliga delen är jättebra förklarat, ibland måste man experimentera lite för att komma fram till ett resultat och partiell integration är ett bra steg att testa, särskilt med trig-funktioner eftersom de cyklar runt. Vart ser du medelvärdessatsen?

Svara