Vilken är det största möjliga area denna rektangel kan få?
Uppgiften lyder: en rektangel som begränsas av de positiva koordinataxlarna har sitt 4:e hörn på linjen till y=5-2x. Vilken är det största möjliga area denna rektangel kan få? Lös uppgiften algebraisk.
Jag har försökt men jag förstår verkligen inte hur denna uppgift ska lösas. Är det någon som kan hjälpa?
Arean av rektangeln ges alltså av basen gånger höjden. Här motsvarar det värdet på x-axeln=x gånger värdet på y-axeln=5-2x. Sammantaget får vi en funktion A(x)=x(5-2x) som ger en area beroende på x-värde. Om du tittar noga ser du att detta är en andragradsfunktion som har en maximipunkt någonstans. Din uppgift är att hitta denna punkt. Vet du hur du gör detta?
Nej det vet jag inte, jag har försökt men jag förstår inte hur jag gör detta.
Man sätter funktionen lika med 0. Funktionen har en form av en parabel där maxpunktens x-värde kommer vara mittemellan funktionens nollställen. Den vertikala linjen som går där brukar kallas symmetrilinjen, känner du igen det? Med nollproduktsmetoden kan du lösa A(x)=0.
När jag då gör noll produktsmetoden så får jag x1=0 och x2= 2,5
När jag lägger in det i funktionen får jag antingen A(0)=0(5-2•0)=0
eller
A(2.5) = 2.5(5-2•2.5)=7.5
En area kan ju dock inte bli 0, är svaret då att den maximala arean är 7.5 kvadratenheter eller har jag missat något steg?
Du har missat ett steg. Funktionen antar inte sitt högsta värde i ett nollställe utan i sin maxpunkt. Maxpunkten ligger precis mittemellan nollställena alltså i x=2,5/2=1,25.
Jag förstår. Nu när jag har x, ska jag lösa vad y är nu genom: y=5 - (2•1,25)= 2.5 och sedan räkna ut arean genom 1.25•2.5
Isåfall blir alltså arean:
1.25•2.5=3.125 kvadratenheter. Är det rätt?
Din funktion A(x) betecknar redan arean enligt så vi ställde upp den. Arean blir helt enkelt vad du får om du beräknar A(1,25). :)
A(1,25)=1,25(5-2•1,25)
=6.25-3.125=3,125
Toppen tack så jättemycket för hjälpen!!
Nemas problemas.🤙
Snabb fråga, om jag ska kunna förklara varför man räknar ut maximipunkten för att ta reda på triangelns största möjliga area med ord, hur ska jag förklara det?
Funktionen visar hur arean varierar med avseende på x. Eftersom vi är ute efter efter den största möjliga arean är det ekvivalent med att hitta när A(x) antar sitt största värde.
Om du ritar upp linjen y=5-2x och ritar olika rektanglar kan du se att de verkar bli mindre när vi närmar oss x=0 eller x=2,5 men större när vi rör oss mot ett värde i mitten. A(x) parabelform blir alltså väldigt naturlig och rimlig här.
