vilken är triangels största area (envariabelanalys)

Hitta ekvationen för tangenten i punkten (x, e^-x). Se var den skär axlarna. Räkna ut arean.

Laguna skrev:

Hitta ekvationen för tangenten i punkten (x, e^-x). Se var den skär axlarna. Räkna ut arean.

hur kommer man fram till den punkten? varför vill jag hitta den ekvationen? förstår inte

Jag har ritat $y=e^{-x}$ tillsammans med sin tangentlinje i en vald tangeringspunkt $(x_0,y_0)$, där $y_0=e^{-x_0}$.

Tangentlinjens ekvation $y=kx+m$, där $k= y'(x_0)$. Tangentlinjen skär y-axeln i punkten $(0,m)$.

Då har du en sida i triangeln. Nästa sida får du om du bestämmer skärning mellan tangentlinje och x-axel.

Nu gissar jag att du kan fortsätta på egen hand.

Sök sedan:

$\max_{x_0}A(x_0)=\max_{x_0}\frac{b(x_0)h(x_0)}{2}$

Maremare skrev:

Laguna skrev:

Hitta ekvationen för tangenten i punkten (x, e^-x). Se var den skär axlarna. Räkna ut arean.

hur kommer man fram till den punkten? varför vill jag hitta den ekvationen? förstår inte

Räkna ut ekvationen för en tangent till en kurva har du gjort i Matte 3 eller 4.

Det som är extra här är att vi inte vet punkten än, så dess x-koordinat får heta x så länge.

Det som är extra här är att vi inte vet punkten än, så dess x-koordinat får heta x så länge.

Nej, kalla den x₀ eller a eller nästan vad som helst, men inte x - det variabelnamnet behöver du har "fritt".

Smaragdalena skrev:

Det som är extra här är att vi inte vet punkten än, så dess x-koordinat får heta x så länge.

Nej, kalla den x₀ eller a eller nästan vad som helst, men inte x - det variabelnamnet behöver du har "fritt".

Instämmer, tangentens ekvation skrivs förslagsvis som:

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

$y=f'(a)\cdot x+f(a)-af'(a)$

$h(a)=m=f(a)-a\cdot f'(a)$

$0=f'(a)\cdot b(a)+h(a)$

Sök sedan:

$\max_a A(a)=\frac{b(a)\cdot h(a)}{2}$

Smaragdalena skrev:

Det som är extra här är att vi inte vet punkten än, så dess x-koordinat får heta x så länge.

Nej, kalla den x₀ eller a eller nästan vad som helst, men inte x - det variabelnamnet behöver du har "fritt".

Det stämmer, lite senare, men först behöver vi derivera e^-x.

Edit: men det stämmer inte med vad jag menade, så jag kunde ha formulerat det bättre.

Uppgiften finns redan i en tidigare tråd.

https://www.pluggakuten.se/trad/bestam-triangelns-storsta-mojliga-area/

dr_lund skrev:

Jag har ritat $y=e^{-x}$ tillsammans med sin tangentlinje i en vald tangeringspunkt $(x_0,y_0)$, där $y_0=e^{-x_0}$.

Tangentlinjens ekvation $y=kx+m$, där $k= y'(x_0)$. Tangentlinjen skär y-axeln i punkten $(0,m)$.

Då har du en sida i triangeln. Nästa sida får du om du bestämmer skärning mellan tangentlinje och x-axel.

Nu gissar jag att du kan fortsätta på egen hand.

vad är det jag ska derivera för att få k förstår inte, om jag deriverar y får jag y'=-e^-x

m får jag genom sätta x = 0 så m-värdet blir 1

så min tangent är y = -e^-x*x +1  som är hypotenusan på triangeln?

Först behöver du ta fram en funktion för att beräkna arean för triangeln som en funktion av tangeringspunkten (x₀,f(x₀)). Sedan behöver du derivera funktionen, sätta derivatan lika med 0 och lösa ekvationen, precis sim du gjorde i Ma3.

Smaragdalena skrev:

Först behöver du ta fram en funktion för att beräkna arean för triangeln som en funktion av tangeringspunkten (x₀,f(x₀)). Sedan behöver du derivera funktionen, sätta derivatan lika med 0 och lösa ekvationen, precis sim du gjorde i Ma3.

hur tar jag fram denna funktion? förstår inte om jag ska vara ärlig

jag kan säkert derivera den men vet ej vad jag ska derivera

Har du läst igenom dr_lunds utmärkta svar? Visa hur långt du kommer, så kan vi hjälpa dig vidare.

dr_lund skrev:

Jag har ritat $y=e^{-x}$ tillsammans med sin tangentlinje i en vald tangeringspunkt $(x_0,y_0)$, där $y_0=e^{-x_0}$.

Tangentlinjens ekvation $y=kx+m$, där $k= y'(x_0)$. Tangentlinjen skär y-axeln i punkten $(0,m)$.

Då har du en sida i triangeln. Nästa sida får du om du bestämmer skärning mellan tangentlinje och x-axel.

Nu gissar jag att du kan fortsätta på egen hand.

Smaragdalena skrev:

Har du läst igenom dr_lunds utmärkta svar? Visa hur långt du kommer, så kan vi hjälpa dig vidare.

dr_lund skrev:

Jag har ritat $y=e^{-x}$ tillsammans med sin tangentlinje i en vald tangeringspunkt $(x_0,y_0)$, där $y_0=e^{-x_0}$.

Tangentlinjens ekvation $y=kx+m$, där $k= y'(x_0)$. Tangentlinjen skär y-axeln i punkten $(0,m)$.

Då har du en sida i triangeln. Nästa sida får du om du bestämmer skärning mellan tangentlinje och x-axel.

Nu gissar jag att du kan fortsätta på egen hand.

yes jag läste och besvarade den

jag har räknat följande:

1. valt en punkt som tangerar y: (a,e^a)

2. försökt räkna tangentens ekvation: y - f(a) = f'(a)(x-a)

   2.1 f'(a) får jag genom derivera y i punkten given i 1 som blir : y'(a) = -e^-a

   2.2 f(a) får jag till y(a) = e^-a

   2.3 detta ger från punkt 2: $y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a) \Rightarrow y =-e^{-a}(x-a)+e^{-a}$

3. vet ej vad jag ska göra nu

Jag förstår inte vad det är du försöker göra i punkt 2.3

Du har fått fram att tangenten genom punkten (a,e^-a) har lutningen -e-a. Sätt in värdena på x, y och k i räta linjens ekvation y=kx+m så får du e^-a=-a^e-a+m. Om du löser ut m ur den ekvationen får du fram skärningslinjen med y-axeln, d v s höjden i triangeln. Om du sätter in att y=0 i räta linjens ekvation får du fram skärningspunkten med x-axeln d v s  triangelns bas.

Hur du räknar ut triangelns area när du vet basen och höjden tror jag att du kommer ihåg. Hur du deriverar detta uttryck och sätter derivatan lika med 0 tror jag också att du kommer ihåg.

Smaragdalena skrev:

Jag förstår inte vad det är du försöker göra i punkt 2.3

Du har fått fram att tangenten genom punkten (a,e^-a) har lutningen -e-a. Sätt in värdena på x, y och k i räta linjens ekvation y=kx+m så får du e^-a=-a^e-a+m. Om du löser ut m ur den ekvationen får du fram skärningslinjen med y-axeln, d v s höjden i triangeln. Om du sätter in att y=0 i räta linjens ekvation får du fram skärningspunkten med x-axeln d v s  triangelns bas.

Hur du räknar ut triangelns area när du vet basen och höjden tror jag att du kommer ihåg. Hur du deriverar detta uttryck och sätter derivatan lika med 0 tror jag också att du kommer ihåg.

2.3 tänkte jag skulle vara tangentens ekvation i enpunktsformen

men även om jag skriver tangentens ekvation som e^-a = -xe^-a + m så förstår jag inte hur jag ska lösa ut m. du säger att jag ska sätta y = 0 men jag har inget y kvar

Nej. FÖRST skall du lösa ekvationen e^-a = -ae^-a + m, inte e^-a = -xe^-a + m (du vet ju att tangeringspunkten har koordinaterna (a,f(a)) så att du får fram ett värde på m. Blir det tydligare om jag skriver ekvationen som f(a)=a*f'(a)+m?

Då vet du både k och m i formeln y=kx+m och DÅ skall du sätta in att y=0 och lösa ekvationen 0=kx+m för att få fram det x-värde där tangenten skär y-axeln.

Visa steg för steg hur du löser problemet, och skriv här när du kör fast, så kan vi hjäpa dig vidare.

jag stänger denna tråd å lägger den på hyllan, förstår ingenting blir bara mer och mer förvirrad för varje inlägg, 3 dagar utan lösning. då är det dags å gå vidare

tack för alla tips!

En tangent till kurvan y = e^-x i punkten (a,e^-a) har lutningen k = y' = -e^-a. Sätt in värdena för x, y och k i formeln y = kx+m så får man e^-a = -ae^-a+m och därifrån får man  m = e^-a(1+a) som är skärningspunkten med y-axeln, d v s höjden i triangeln. Om man sätter in värdena på k och m samt y = 0 i y = kx+m får man 0 = -e^-ax+e^-a(1+a) vilket ger att skärningspunkten med x-axeln, d v s triangelns bas, är x = 1+a. Triangelns area är alltså A(a)=½e^-a(1+a)². Om man deriverar detta uttryck (m h a produktregeln) och sätter derivatan lika med 0 kan man få ur vilket a-värde som ger ett extremvärde. Produktregeln lär man sig i Ma4, fram till dess räcker det med kunskaper från Ma3, men då skulle det nog vara en A-uppgift.