23 svar
145 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019

Vilket av följande tal är störst och vilket är minst?

Nu har jag kört fast på en uppgift som inte borde vara så svår.

Vilket av följande tal är störst och vilket är minst?

A=35, B=43, C=23.

Jag började med att skriva om rotuttrycken till 315 respektive 213 och så kan man uttrycka 4/3 som 1 och 1/3. 

Men sen kom jag inte längre. Vad kan man ta till för knep?

Får du inte använda miniräknare ?

Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019

Nej, det är inte tillåtet sedan på tentan att använda miniräknare. Så jag måste hitta metoderna att räkna allt i huvudet.

Då kommer jag inte längre än du har gjort :(
men ska fundera på det....      

Jag kommer bara på den fruktansvärda idén att upphöja alla tre talen till 15...

Laguna 5667
Postad: 1 jun 2019

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Hur menar du Laguna? Kan du visa?

larsolof 1501 – Mattecentrum-volontär
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019
Laguna skrev:

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Upphöja till tre:  Det ger att  4/3  (64/27=2,37)  är större än  2^1/3  (2)

Upphöja till fem:  Det ger att  4/3  (1024/243=4,21)  är större än 3^1/5 (3)

Men det säger inte vilket tal som är minst.

--------------------

Smaragdalenas  idé gör att alla tre talen kan jämföras men hur lång tid tar det
att räkna ut  4^15/3^15 ?

Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019

Ja, Smaragdalena, din idé fungerade fint.

Jag fick att (313)15=33=27 och att (212)15=25=32 och att 3415 74 (eller egentligen närmare 75 när jag tog det på räknaren). 

Det tog en stund att räkna ut den sista, men det gick bra. Det är möjligt att göra så t.ex. på en tenta.

Jag kunde se att B=4375  är störst och att A= 35= 27 är minst.

tomast80 2487
Postad: 1 jun 2019

Det är relativt enkelt att jämföra B med A respektive C. Utmaningen är att konstatera vilket som är minst av A och C.

Jag kom fram till att genom att istället jämföra talen:

4A4A med 4C4C så kommer man på ett rätt enkelt och elegant sätt fram till lösningen.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019
larsolof skrev:
Laguna skrev:

Jag kommer på idén att till att börja med upphöja 4/3 till tre och till fem och jämföra med två respektive tre. 

Upphöja till tre:  Det ger att  4/3  (64/27=2,37)  är större än  2^1/3  (2)

Upphöja till fem:  Det ger att  4/3  (1024/243=4,21)  är större än 3^1/5 (3)

Men det säger inte vilket tal som är minst.

--------------------

Smaragdalenas  idé gör att alla tre talen kan jämföras men hur lång tid tar det
att räkna ut  4^15/3^15 ?

Vi får veta att 4/3 är större än de båda andra, så den måste vara störst.

Sedan kan vi jämföra de båda andra två genom att upphöja dem till 15 och då får vi veta vilken av dem som är minst. Den som är minst av dessa två är även minst av alla tre talen.

Jag håller med om att det var ganska tidsödande att beräkna 4/3 upphöjt till 15, men det alternativet fungerade också bra, tycker jag.

TACK för all hjälp!

Lisa Mårtensson 602
Postad: 1 jun 2019
tomast80 skrev:

Det är relativt enkelt att jämföra B med A respektive C. Utmaningen är att konstatera vilket som är minst av A och C.

Jag kom fram till att genom att istället jämföra talen:

4A4A med 4C4C så kommer man på ett rätt enkelt och elegant sätt fram till lösningen.

Hur gör du när du jämför 4A med 4C? Det hade varit roligt att se hur snyggt det blir?

Jag förstår det som att du multiplicerar talen med 4?

tomast80 2487
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

4A=43·10245]3=[54A=4\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{3\cdot 1024}

=31255]3072<[5<=\sqrt[5]{3072}<\sqrt[5]{3125}<

555]3125=[5=5\sqrt[5]{3125}=\sqrt[5]{5^5}=5

4C=41283]2=2·643=[3>4C=4\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot 64}=\sqrt[3]{128}>

533]125=[3=5\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^3}=5

Alltså:

4A<54A<5 och 4C>54C>5 innebär:

A<CA<C

tomast80 2487
Postad: 1 jun 2019

Min LaTex-kod ser hemsk ut, vet faktiskt inte varför. Kan någon moderator kolla på det, tack?

AlvinB 3210
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Det vanliga sättet att skriva tredje rötter med "\sqrt[3]{x}" verkar ha slutat fungera i längre latex-strängar.

Man kanske istället kan komma runt detta med "{}^3\sqrt{x}":

x3{}^3\sqrt{x}

EDIT: Nja, det såg inget vidare ut..

EDIT #2: Det verkar som det blir problem om man använder flera tredje rötter inom samma dollar-dollar-sekvens. Det verkar fungera om man delar upp dem. Här är tomasts kod där jag gjort detta:

4A=435=4A=4\sqrt[5]{3}= 3·10245=\sqrt[5]{3\cdot 1024}= 30725<\sqrt[5]{3072}< 31255<\sqrt[5]{3125}<

31255=\sqrt[5]{3125}= 555=5\sqrt[5]{5^5}=5

4C=423=4C=4\sqrt[3]{2}= 2·643=\sqrt[3]{2\cdot 64}= 1283>\sqrt[3]{128}>

1253=\sqrt[3]{125}= 533=5\sqrt[3]{5^3}=5

tomast80 2487
Postad: 1 jun 2019

Stort tack, AlvinB!

Lisa, är du med på tänket? Man försöker hamna nära ett heltal efter rotutdragning.

Laguna 5667
Postad: 1 jun 2019

Att upphöja A och C till 15 är inte så farligt. Vi får alltså jämföra 33 med 25.

Albiki 4226
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Hej!

Till att börja med noterar jag att samtliga tre tal tillhör intervallet (1,2) (1,2). Sedan kan man uttrycka dem med samma bas, exempelvis 10.

    A=1015log3A=10^{\frac{1}{5}\log 3} och B=10log43B=10^{\log \frac{4}{3}} och C=1013log2.C=10^{\frac{1}{3}\log 2}.

Det gäller nu att jämföra de tre talen 15log3\frac{1}{5}\log 3 och 2log2-log32\log 2-\log 3 samt 13log2\frac{1}{3}\log 2.

Albiki skrev:

Hej!

Till att börja med noterar jag att samtliga tre tal tillhör intervallet (1,2) (1,2). Sedan kan man uttrycka dem med samma bas, exempelvis 10.

    A=1015log3A=10^{\frac{1}{5}\log 3} och B=10log43B=10^{\log \frac{4}{3}} och C=1013log2.C=10^{\frac{1}{3}\log 2}.

Det gäller nu att jämföra de tre talen 15log3\frac{1}{5}\log 3 och 2log2-log32\log 2-\log 3 samt 13log2\frac{1}{3}\log 2.

Och hur gör du det, om du inte har tillgång till miniräknare?

Albiki 4226
Postad: 1 jun 2019 Redigerad: 1 jun 2019

Definitionen av logaritmfunktionen ger

    log(1+u)-log(u)=1/t\log(1+u)-\log(u)=1/t för något u<t<1+uu<t<1+u

speciellt att

    log3=log2+1/t\log 3 = \log 2 + 1/t för något 2<t<32<t<3

vilket betyder att

    log2+13<log3<log2+12.\log 2 + \frac{1}{3} < \log 3 < \log 2 + \frac{1}{2}.

Det ger

    15log2+115<15log3<15log2+110\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{15} < \frac{1}{5}\log 3 < \frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{10}

och

    log2-12<2log2-log3<log2-13.\log 2 - \frac{1}{2} < 2\log 2-\log 3 < \log 2 - \frac{1}{3}.

Albiki 4226
Postad: 1 jun 2019

Notera att

    15log2+115=15(log2+13)\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{15} = \frac{1}{5}(\log 2 + \frac{1}{3})

och

    15log2+110=15(log2+12).\frac{1}{5}\log 2 + \frac{1}{10} = \frac{1}{5}(\log 2 + \frac{1}{2}).

Lisa Mårtensson 602
Postad: 2 jun 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Ja, Smaragdalena, din idé fungerade fint.

Jag fick att (313)15=33=27 och att (212)15=25=32 och att 3415 74 (eller egentligen närmare 75 när jag tog det på räknaren). 

Det ska vara att (315)15=33= 27. Jag skrev fel exponent inom parentesen efter basen 3.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 2 jun 2019

Tack, ja jag tror jag hänger med på det mesta.

Intressant att se hur jag kan lösa uppgiften med hjälp av  logaritmering.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 2 jun 2019
tomast80 skrev:

Stort tack, AlvinB!

Lisa, är du med på tänket? Man försöker hamna nära ett heltal efter rotutdragning.

Ja, jag är med på tänket ;-) att försöka komma nära ett heltal för att göra jämförelser.

Det skulle vara lite svårt för mig dock att avgöra, utan räknare, vilket som var störst av 

1283 och  513, dvs 4C och 4B.

 

4A är mindre än 5, 4A4,9829.

4B får vi genom att räkna ut 4·435,3333.

4C är större än 5, men ändå mindre än 4B. 4C5,0397.

Storleksordningen vi får, med störst först, är alltså 4B, 4C, 4A.

(Nu använde jag räknaren för att kontrollera.)

Svara Avbryt
Close