Vinkelhastighet och vinkelacceleration

Börja med hastighetsvektorn v

Rita in v i ett koordinatsystem som tydligt visar $\hat{r}$ och $\hat{\theta}$ i förhållande till den gröna pilen v.  Var noga med att märka ut vinkeln $\theta$

Vad blir komposanterna av v i $\hat{r}$- och $\hat{\theta}$-led?

D4NIEL skrev:

Börja med hastighetsvektorn v

Rita in v i ett koordinatsystem som tydligt visar $\hat{r}$ och $\hat{\theta}$ i förhållande till den gröna pilen v.  Var noga med att märka ut vinkeln $\theta$

Vad blir komposanterna av v i $\hat{r}$- och $\hat{\theta}$-led?

Här är mitt försök. Tänker att r är konstant (vet annars inte hur man ska beräkna rprick och rprickprick?)

Bra och tydlig figur!

Men $r$ är inte konstant. Det kan du övertyga dig om genom att flytta bilen så den står rakt ovanför radarstationen. Då är $r$ kortare, alltså har radien ändrats, alltså $\dot{r}\neq0$

Eftersom vi redan vet exakt hur bilen rör sig, nämligen utmed vägen i negativ x-led med hastigheten $v$ och accelerationen $a$ behöver vi inte ställa upp Newton II.

För att få fram ett enkelt samband för $\dot{r}$ behöver vi använda vad vi vet om hastigheten.

Vi börjar med att härleda hastigheten i polära koordinater genom att derivera lägesvektorn en gång

$\mathbf{r}=r\bar{e}_r$

$\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\bar{e}_r+r\frac{d}{dt}(\bar{e}_r)=\dot{r}\bar{e}_r+r\dot{\theta}\bar{e}_\theta\quad\quad(1)$

Jag hoppas att det är något du känner igen från bok/föreläsning. Från din bild ser vi att hastigheten i $\bar{e}_{\theta}$-led ska vara $v\sin(\theta)$. Sammanställer vi det med ekvation $(1)$ i $\bar{e}_\theta$-led får vi

$v\sin(\theta)=r\dot{\theta}$

$\dot{\theta}=\frac{v\sin(\theta)}{r}$

Vilket är vinkelhastigheten man söker. Sammanställer du istället i $\bar{e}_r$-led får du ett samband för $\dot{r}$. Det kan du använda när du bestämmer accelerationen. Använd samma teknik (dvs projicera $a$ på axlarna och jämför med andraderivatan av lägesvektorn vilket är samma sak som de uttryck du fått fram för accelerationen i ditt eget lösningsförslag)