Vinkelhastighet uttryckt som vinkel theta

Jag har löst det! 

Jag har testat att ta bort x komposanten i $\vec{v}_{B}$ så att $\vec{v}_{B}=\begin{bmatrix}0\\ \omega_0r\cos\theta\\0\end{bmatrix}$ där tanken är att det bara är y-komposanten som ger upphov till en vinkelhastighet vid $\gamma$. Jag har nu jämfört graferna och får följande:

Det skiljer sig lite från graferna, där den blåa grafen ska vara den rätta så att säga. Vet ej vad detta kan bero på!

Jag tror inte du kan ta bort x-komposanten i $v_B$, för den kommer att ge upphov till vinkelhastighet på ${\omega }_{AB}$ också. (Enda tillfället när den inte gör det är när AB är parallell med x-axeln, dvs då täta är 0).

Jag tror att din ekvation för uträkning av ${\omega }_{AB}$ ifrån den spatiellla hastigheten $v_B$kan vara fel. Jag kan inte säga vad som är fel eftersom jag är för rostig på räkneregler för kryssprodukter. Men en enhetsanalys visar att om du multiplicerar en längd $\left[m\right]$ med en hastighet $\left[\raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s$}\right.\right]$, så får du inte en vinkelhastighet $\left[s^{-1}\right]$.

JohanF skrev:

Jag tror inte du kan ta bort x-komposanten i $v_B$, för den kommer att ge upphov till vinkelhastighet på ${\omega }_{AB}$ också. (Enda tillfället när den inte gör det är när AB är parallell med x-axeln, dvs då täta är 0).

Jag tror att din ekvation för uträkning av ${\omega }_{AB}$ ifrån den spatiellla hastigheten $v_B$kan vara fel. Jag kan inte säga vad som är fel eftersom jag är för rostig på räkneregler för kryssprodukter. Men en enhetsanalys visar att om du multiplicerar en längd $\left[m\right]$ med en hastighet $\left[\raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s$}\right.\right]$, så får du inte en vinkelhastighet $\left[s^{-1}\right]$.

Vinkelhastigheten, $\omega_{AB}$ är som störst då $\theta=0$, vi har en konstant vinkelhastighet $\omega_{0}$ vid B. Vinkelhastigheten $\omega_{AB}$ är noll då $\theta=90^{\circ}$ och $\omega_{AB}$ byter tecken då $\theta>90^{\circ}$. Vinkelhastigheten $\omega_{AB}$ är snarare noll då riktningsvektorn för $\boldsymbol{v}_B$ är parallel med $\overrightarrow{AB}$. 

Det är väl frågan om man kan få ut vinkelhastigheten mha $\omega=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}$.

Vi kan uttrycka hastigheten för punkten B på två olika sätt

$\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_A+\mathbf{\omega}_{AB}\times \mathbf{r}_{BA}$

$\mathbf{v}_B=\mathbf{\omega}_{0}\times \mathbf{r}_{B0}$

Där $\mathbf{\omega}_0=-\omega_0\hat{z}$, $\mathbf{\omega}_{AB}=\omega_{AB}\hat{z}$, $\mathbf{r}_{B0}=(-r\cos(\theta), r\sin(\theta),0)$ och $\mathbf{r}_{BA}=(l\cos(\varphi), l\sin(\varphi),0)$.

Eftersom hastigheten för A i y-led är 0 blir ekvationen $\mathbf{v}_B=\mathbf{v}_B$ särskilt enkel i y-led

$r\omega_0\cos(\theta)=l\omega_{AB}\cos(\varphi)$

$\omega_{AB}=\frac{r\omega_0\cos(\theta)}{l\cos(\varphi)}$

Ett samband mellan vinkeln $\varphi$ och $\theta$ ges av sinussatsen

$r\sin(\theta)=l\sin(\varphi)$

$\cos(\varphi)=\sqrt{1-\frac{r^2\sin^2(\theta)}{l^2}}$

Alltså blir svaret på uppiften

$\omega_{AB}=\frac{r\omega_0\cos(\theta)}{l\sqrt{1-\frac{r^2\sin^2(\theta)}{l^2}}}$

Riktigt snyggt!

Jag antar då att ett uttryck för vinkelaccelerationen är om man deriverar ekvationen map tiden

$r\omega_0\cos\theta=l\omega_{AB}\cos\varphi$?

Eller skulle det vara bökigare att kryssa igen enligt

$\boldsymbol{a}=\omega\times(\omega\times\boldsymbol{r})+\alpha\times\boldsymbol{r}$?

econo skrev:

JohanF skrev:

Jag tror inte du kan ta bort x-komposanten i $v_B$, för den kommer att ge upphov till vinkelhastighet på ${\omega }_{AB}$ också. (Enda tillfället när den inte gör det är när AB är parallell med x-axeln, dvs då täta är 0).

Jag tror att din ekvation för uträkning av ${\omega }_{AB}$ ifrån den spatiellla hastigheten $v_B$kan vara fel. Jag kan inte säga vad som är fel eftersom jag är för rostig på räkneregler för kryssprodukter. Men en enhetsanalys visar att om du multiplicerar en längd $\left[m\right]$ med en hastighet $\left[\raisebox{1ex}{$m$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$s$}\right.\right]$, så får du inte en vinkelhastighet $\left[s^{-1}\right]$.

Vinkelhastigheten, $\omega_{AB}$ är som störst då $\theta=0$, vi har en konstant vinkelhastighet $\omega_{0}$ vid B. Vinkelhastigheten $\omega_{AB}$ är noll då $\theta=90^{\circ}$ och $\omega_{AB}$ byter tecken då $\theta>90^{\circ}$. Vinkelhastigheten $\omega_{AB}$ är snarare noll då riktningsvektorn för $\boldsymbol{v}_B$ är parallel med $\overrightarrow{AB}$. 

Det är väl frågan om man kan få ut vinkelhastigheten mha $\omega=\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}$.

Ja. Det är det som är frågan. Jag tror inte du kan beräkna vinkelhastigheten sådär, eftersom enhetsanalysen visar att det blir fel.

econo skrev:

Riktigt snyggt!

 

Jag antar då att ett uttryck för vinkelaccelerationen är om man deriverar ekvationen map tiden

$r\omega_0\cos\theta=l\omega_{AB}\cos\varphi$?

Då gör du det du redan gjort på ett mer omständligt sätt. 

Eller skulle det vara bökigare att kryssa igen enligt

$\boldsymbol{a}=\omega\times(\omega\times\boldsymbol{r})+\alpha\times\boldsymbol{r}$?

Du kan ställa upp accelerationen enligt tillvägagångssättet de går igenom i avsnitt 5/6. Det finns flera sample problem där som visar hur man gör.

En exempellösning:

${\mathit{a}}_B={\mathit{a}}_O+{\mathit{\alpha }}_{BO}\times {\mathit{r}}_{OB}+{\mathit{\omega }}_{BO}\times \left({\mathit{\omega }}_{BO}\times {\mathit{r}}_{OB}\right)$

Här har vi att ${\mathit{a}}_O={\mathit{\alpha }}_{BO}=\mathbf{0}$ eftersom punkten O är fix och vinkelhastigheten $\boldsymbol{\omega}_{BO}$ är konstant. Vi får:

${\mathit{a}}_B={\omega }_0\mathit{k}\times \left({\omega }_0\mathit{k}\times \left(-r\cos \theta \mathit{i}+r\sin \theta \mathit{j}\right)\right)=r{{\omega }_0}^2\left(\cos \theta \mathit{i}-\sin \theta \mathit{j}\right)$

Vi ställer nu upp ett uttryck för $\boldsymbol{a}_{A}$:

${\mathit{a}}_A={\mathit{a}}_B+{\mathit{\alpha }}_{AB}\times {\mathit{r}}_{BA}+{\mathit{\omega }}_{AB}\times \left({\mathit{\omega }}_{AB}\times {\mathit{r}}_{BA}\right)$

Vi får:

$$\begin{gathered} a_A\mathit{i}=r{\omega }_0^2\left(\cos \theta \mathit{i}-\sin \theta \mathit{j}\right)+{\alpha }_{AB}\mathit{k}\times \left(-l\cos \phi \mathit{i}-l\sin \phi \mathit{j}\right) \\ +{\omega }_{AB}\mathit{k}\times \left({\omega }_{AB}\mathit{k}\times \left(-l\cos \phi \mathit{i}-l\sin \phi \mathit{j}\right)\right) \\ =r{\omega }_0^2\left(\cos \theta \mathit{i}-\sin \theta \mathit{j}\right)+l{\alpha }_{AB}\left(\sin \phi \mathit{i}-\cos \phi \mathit{j}\right)+l{\omega }_{AB}^2\left(\cos \phi \mathit{i}+\sin \phi \mathit{j}\right) \end{gathered}$$

Detta ger om du jämför $\boldsymbol{i}$- och $\boldsymbol{j}$-termer:

$\left\{\begin{array}{l}{a}_A=r{\omega }_0^2\cos \theta +l{\alpha }_{AB}\sin \phi +l{\omega }_{AB}^2\cos \phi \\ 0=-r{\omega }_0^2\sin \theta -l{\alpha }_{AB}\cos \phi +l{\omega }_{AB}^2\sin \phi \end{array}\right.$

Den andra ekvationen ger oss:

$\alpha_{AB}=\dfrac{l\omega_{AB}^{2}\sin\varphi-r\omega_{0}^{2}\sin\theta}{l\cos\varphi}$

Med det som Jroth tagit fram kan du ta fram ett uttryck som enbart beror på ursprungsvariablerna $\theta$, $\omega_{0}$, $r$ och $l$.

Om man inte ska inblanda sinussats eller dylikt kan uppgiften lösas med vektorer enligt:

$\vec{OA}=\begin{bmatrix}-r\cos\theta-\sqrt{l^2-r^2\sin\theta}\\ 0\\ 0\end{bmatrix}, \overrightarrow{OB}=\begin{bmatrix}-r\cos\theta\\ r\sin\theta\\ 0\end{bmatrix}$.

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$

Vi har att

$\begin{bmatrix}v_x\\ 0 \\0 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}0\\ 0\\ \omega_0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}-r\cos\theta\\ r\sin\theta\\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 0\\ -\omega_{AB}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}-\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}\\ -r\sin\theta\\ 0\end{bmatrix}$

Detta ger

$\begin{bmatrix}v_{Ax}\\ 0\\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-r\omega_0\sin\theta\\ -r\omega_0\sin\theta\\ 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-r\omega_{AB}\sin\theta\\ \omega_{AB}\sqrt{l^2-r^2\sin^2}\\ 0\end{bmatrix}.$

Lösning av systemet ger $v_x$ resp. $\omega_{AB}$ uttryckt i $\theta$ så att

$\omega_{AB}=\frac{\omega_0r\cos\theta}{\sqrt{l^2-r^2\sin^2\theta}}$

Uttrycket för $\alpha_{AB}$ fås mha av $\boldsymbol{a}_{B}=\boldsymbol{a}_{O}+\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{BO}} \times \mathbf{r}_{\mathrm{OB}}+\boldsymbol{\omega}_{\mathrm{BO}} \times\left(\boldsymbol{\omega}_{\mathrm{BO}} \times \mathbf{r}_{\mathrm{OB}}\right)$

resten är historia...