Vinkelmoment

Fråga:

Min lösningsidé: Derivera uttrycket för banan med avseende på "t" för att få hastigheterna i x respektive y led. $\frac{2 x x'}{a^{2}} + \frac{2 y y'}{b^{2}} = 0$ Använd formeln: $a = \frac{v^{2}}{r} e_{n} + v' e_{t}$ , varefter stoppa in i $F = m a$ för att ta reda på F i repet. Detta är en skissartad idé till lösningsmetod som jag har.

Tyvärr har jag svårt för att konkret ta mig vidare och behöver lite hjälp på traven.

Iakttagande: Då kraften varierar, varierar också hastigheten, den är som störst då ellipsen är så nära $O$ som möjligt och minst vid ytterkanterna i x-led.

Saker som gör mig osäker: Hastigheten ändras med tiden i detta fallet, därför även kraften, jag vet inte riktigt hur jag ska beskriva detta rent matematiskt, samt relatera det till kraften.

Rörelsemängdsmomentet: $L = r \times m v$ , kanske kan den vara till hjälp? Det är tydligt att storleken på den ändras då hastigheten ändras. Jag vet att: $L' = r' \times m v + r \times m v' = v \times m v + r \times m a = r \times F = M$ , integralen med avseende på tiden av M ger: $\int_{t_{1}}^{t_{2}} M d t = L_{2} - L_{1}$ . Jag känner till $m o c h v, m ö j l i g t v i s a t t j a g k a n a n t a e t t g o d t y c k l i g t r$ ? $t_{1} = 0, t_{2} = ?$

Alltså: Det känns som om jag har mycket att arbeta med, vet inte riktigt hur jag ska tillämpa det i detta fallet! All hjälp uppskattas mycket!

Tack på förhand.

Rörelsemängdsmomentet är konstant, eftersom kraften alltid är parallell med r, så kraftmomentet map O är noll.

Du bör använda rörelseekvationerna härledda för polära koordinater:

Polar Coordinates

Du kommer således få ut spänningen i linan utifrån accelerationen i r-led.

Du vet att bv_B = av_A pga av konstant L. Så att v_B = av_A/b.

Vidare har du redan formeln

a_B = (v_B)²e_n/r_B + (v_B)’e_t = F_B/m = F_Be_y/m = - F_Be_n/m.

Vilket ger om vi skalärmultiplicerar med e_n att

F_B = -m(v_B)²/r_B, eller F_B = -m(av_A/b)²e_y/r_B.

r_B är ellipsens krökningsradie i B.

googling ger r_B = a²/b, så F_B = -m(v_A)²e_y/b, om jag inte misstar mig.

*Pinsamt missförstånd angående naturliga koordinater*

Det skall vara krökningsradien i formeln. Repetera naturliga koordinater.

PATENTERAMERA skrev:
Det skall vara krökningsradien i formeln. Repetera naturliga koordinater.

Ah n-t, missade det. De bygger upp en lokal cirkel med radie = krökningsradien kring punkten av intresse.

I min lösning där jag härleder kraften från energins bevarande hade jag gjort ett riktigt märkligt räknefel.

Ebola skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Det skall vara krökningsradien i formeln. Repetera naturliga koordinater.
Ah n-t, missade det. De bygger upp en lokal cirkel med radie = krökningsradien kring punkten av intresse.
I min lösning där jag härleder kraften från energins bevarande hade jag gjort ett riktigt märkligt räknefel.

Patenterameras svar var korrekt! Hur ser din lösning ut? Skadar inte att lära sig den med!

PATENTERAMERA skrev:
Du vet att bv_B = av_A pga av konstant L. Så att v_B = av_A/b.
Vidare har du redan formeln
a_B = (v_B)²e_n/r_B + (v_B)’e_t = F_B/m = F_Be_y/m = - F_Be_n/m.
Vilket ger om vi skalärmultiplicerar med e_n att
F_B = -m(v_B)²/r_B, eller F_B = -m(av_A/b)²e_y/r_B.
r_B är ellipsens krökningsradie i B.
googling ger r_B = a²/b, så F_B = -m(v_A)²e_y/b, om jag inte misstar mig.

Tack så jättemycket!

"Rörelsemängdsmomentet är konstant, eftersom kraften alltid är parallell med r, så kraftmomentet map O är noll."

- På grund av att: $L = r \times m v = |r| |m v| \sin (0) = 0$ ? Centralrörelse innebär att detta även gäller vid B. Är det så du tänker? Finns det en poäng i att du påpekar att kraftmomentet map på O är noll? Vad är orsaken?

Att rörelsemängdsmomentet är konstant innebär att $\int_{t} M d t = L_{2} - L_{1} = 0 - 0 = 0$ .

Därefter verkar det som om du sätter om följande likhet:

$L_{B} - L_{A} = 0 \Leftrightarrow L_{B} = L_{A} m b v_{B} = m a v_{A} v_{B} = a v_{A} / b$

Har jag förstått dig rätt hittills?

Sen använde du tangential och normalkoordinater, då skrev du att $r_{B}$ är krökningsradien i B. Jag antar att detta beror på att dom förutsätter en cirkel, vi har dock en ellips. Därför får vi tänka oss en cirkel från B till mittenpunkten av cirkeln. Mittpunkten bestäms av hur funktionen i fråga ser ut (i de olika leden, hur den ändrar sig i dom, "rate of change") kring den aktuella punkten?

Jag fick reda på formeln för en krökningsradie: https://www.youtube.com/watch?v=vyBkvGnPwJk

Det ser dock ganska rörigt ut, är det en formel du minns i huvudet? I alla fall om man minns det så är det inte så stilrent att ta andra derivatan av y = abs(b)*sqrt(1-x^2/a^2), skulle du gjort såhär på en tenta också?

Ja, rätt förstått. Utom att det är kraftmomentet som är noll, vilket implicerar att rörelsemängdsmomentet är konstant. $\frac{d}{d t}$ (L) = M = 0.

Momentet beräknas ju alltid kring någon punkt. Så man måste ju specificera vilken punkt som gäller.

Här är en länk till beräkning av krökning och krökningsradie:

https://www.pluggakuten.se/trad/berakning-av-krokningsradie/

Du behöver bara räkna ut vad krökningsradien är i B.

Svara Avbryt

Visa senaste svar