8 svar
172 visningar
tomast80 2467
Postad: 28 jul 2019 Redigerad: 28 jul 2019

Bestäm triangel

En triangel har vinklarna AA, BB och CC. Motstående sidor är aa, bb och cc, d.v.s. a=|BC|a=|BC|, b=|AC|b=|AC| och c=|AB|c=|AB|.

Det gäller att vinkeln B=2AB=2A. Sidan b=5b=5 längdenheter (l.e.). Vidare är triangelns omkrets

6+50+51210\frac{\sqrt{6}+50+51\sqrt{2}}{10} l.e. FEL, se nedan /moderator

Bestäm vinklarna och de två okända sidorna i triangeln.

tomast80 bad att jag skall korrigera uttrycket för omkretsen: det skall vara 52+10+562\frac{5\sqrt2+10+5\sqrt6}{2}. /Smaragdalena, moderator

Ebola 487
Postad: 28 jul 2019

Såg inget elegant sätt att presentera lösningen exakt så svaret får bli på decimalform.

Vår triangel är:

Om vi delar vinkeln B på mitten och drar en linje till sidan b får vi:

Vi ser här att vi kan få fram följande relation från denna triangel:

cos(A)=c2d

Om vi tittar på den triangel som bildades på högra sidan har vi:

Denna är likformig med vår ursprungliga triangel så vi kan forma följande samband:

dc=b-da  d=bca+c

Vi har givet omkretsen och att sidan b = 5 vilket ger oss:

6+50+51210=a+b+c  a+c=6+512107.46 l.e

Kombinerar vi dessa tre resultat kan vi bestämma vinklarna:

cos(A)=c(a+c)2bc=a+c2b0.746A=41.8°B=83.6°C=54.6°

Detta i sin tur ger med sinussatsen sidorna:

a=3.35 l.eb=5.00 l.ec=4.11 l.e

tomast80 2467
Postad: 28 jul 2019 Redigerad: 28 jul 2019

Hej Ebola!

Mycket snygg lösning! Tyvärr hade jag angett fel omkrets och bett ett antal moderatorer (för ett tag sen) att ändra mitt originalinlägg (låst efter 2 h). Hade hoppats att de skulle ändra FÖRE någon svarat på uppgiften. Nu blev det tyvärr inte så. Den rätta omkretsen ska vara:

52+10+562\frac{5\sqrt{2}+10+5\sqrt{6}}{2}

Då får man exakta värden på vinklarna (uttryckt i grader) och även på sidorna.

Ursäkta för att du inte fick lösa uppgiften med rätt parametrar!

Om du orkar kan du ju se vad du får med rätt omkrets.

Ebola 487
Postad: 28 jul 2019

Oj, haha! Ja, så kan det gå. Lösningen är densamma så det gör inget för mig. Med rätt omkrets får jag vinklarna:

A=15°B=30°C=135°

Vilket ger sidorna (i längdenheter):

a=5(3-1)2b=5c=52

tomast80 2467
Postad: 28 jul 2019 Redigerad: 28 jul 2019

Mycket vackert, Ebola!

En fundering bara, hur får du fram

A=arccos(...)=15°A=\arccos(...)=15^{\circ}?

15°15^{\circ} är ju ingen standardvinkel.

Lite nyfiken.

Ebola 487
Postad: 28 jul 2019
tomast80 skrev:

Mycket vackert, Ebola!

En fundering bara, hur får du fram

A=arccos(...)=15°A=\arccos(...)=15^{\circ}?

15°15^{\circ} är ju ingen standardvinkel.

Lite nyfiken.

Av en ren slump har jag lagt den på minnet från grundkursen i matematik. Vi satt en afton och ställde upp formeln för halva vinkeln så vi kunde bestämma just cosd(15). Då var den i en annan form:

cos(15°)=3+24=3+122=6+24=a+c2b

Det var en ren slump att jag såg det men hade annars bara använt miniräknare. Om inte miniräknare var tillåtet hade jag sannolikt inte ens gått denna rutt utan jag hade behövt gå en längre väg för att identifiera uttryck för alla vinklar och hoppas att någon av dem utgör standardvinklar. I detta fall är både B och C sådana.

tomast80 2467
Postad: 28 jul 2019 Redigerad: 28 jul 2019

Hej igen!

Vilket roligt sammanträffande!

Jag hade nog chansat på att vinkeln BB var ”enklare” att få fram och använt formeln för dubbla vinkeln.cos(B)=cos(2A)=2cos2A-1=\cos(B)=\cos(2A)=2\cos^2A-1=

2·6+212+216-1=2\cdot \frac{6+2\sqrt{12}+2}{16}-1=

1+2·2·2·316-1=1+\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{16}-1=

32\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow

B=arccos32B=\arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}}\Rightarrow

B=30°B=30^{\circ}\Rightarrow

A=B2=15°A=\frac{B}{2}=15^{\circ}

AlvinB 3181
Postad: 28 jul 2019 Redigerad: 28 jul 2019

Här är en annan lösningsmetod:

Sinussatsen ger:

asin(A)=bsin(B)=csin(C)\dfrac{a}{\sin(A)}=\dfrac{b}{\sin(B)}=\dfrac{c}{\sin(C)}

ur vilket det ganska enkelt följer att

a=sin(A)sin(B)·ba=\dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}\cdot b

och

c=sin(C)sin(B)·bc=\dfrac{\sin(C)}{\sin(B)}\cdot b

Omkretsen a+b+ca+b+c kan därför uttryckas enligt:

a+b+c=sin(A)sin(B)·b+b+sin(C)sin(B)·b=b(1+sin(A)sin(B)+sin(C)sin(B))a+b+c=\dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}\cdot b+b+\dfrac{\sin(C)}{\sin(B)}\cdot b=b(1+\dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}+\dfrac{\sin(C)}{\sin(B)})

Då ett uttryck för omkretsen är känt gäller det bara att ta uttrycka kvoterna sin(A)/sin(B)\sin(A)/\sin(B) och sin(C)/sin(B)\sin(C)/\sin(B) i enbart en av vinklarna. Vi väljer AA. Vi får att:

sin(A)sin(B)=sin(A)sin(2A)=sin(A)2sin(A)cos(A)=12cos(A)\dfrac{\sin(A)}{\sin(B)}=\dfrac{\sin(A)}{\sin(2A)}=\dfrac{\sin(A)}{2\sin(A)\cos(A)}=\dfrac{1}{2\cos(A)}

och

sin(C)sin(B)=sin(180°-3A)sin(2A)=sin(3A)sin(2A)\dfrac{\sin(C)}{\sin(B)}=\dfrac{\sin(180^\circ-3A)}{\sin(2A)}=\dfrac{\sin(3A)}{\sin(2A)}

Om man inte redan känner till uttrycket sin(3A)=3sin(A)cos2(A)-sin3(A)\sin(3A)=3\sin(A)\cos^2(A)-\sin^3(A) kan detta härledas ganska smärtfritt med Eulers formel:

Visa spoiler

Betrakta talet

ei·3A=cos3A+isin3Ae^{i\cdot 3A}=\cos\left(3A\right)+i\sin\left(3A\right)

Vi kan även uttrycka detta som:

ei·3A=(ei·A)3=cosA+isinA3=cos3A+3icos2AsinA-3cosAsin2A-isin3Ae^{i\cdot 3A}=(e^{i\cdot A})^3=\left(\cos\left(A\right)+i\sin\left(A\right)\right)^3=\cos^3\left(A\right)+3i\cos^2\left(A\right)\sin\left(A\right)-3\cos\left(A\right)\sin^2\left(A\right)-i\sin^3\left(A\right)

Likaställs imaginärdelarna från de två uttrycken erhålls:

sin(3A)=3sin(A)cos2(A)-sin3(A)\sin(3A)=3\sin(A)\cos^2(A)-\sin^3(A)

Detta uttryck ger:

sin(C)sin(B)=sin(3A)sin(2A)=3sin(A)cos2(A)-sin3(A)2sin(A)cos(A)=sinA3cos2A-sin2A2sinAcosA=\dfrac{\sin(C)}{\sin(B)}=\dfrac{\sin(3A)}{\sin(2A)}=\dfrac{3\sin(A)\cos^2(A)-\sin^3(A)}{2\sin(A)\cos(A)}=\dfrac{\cancel{\sin\left(A\right)}\left(3\cos^2\left(A\right)-\sin^2\left(A\right)\right)}{2\cancel{\sin\left(A\right)}\cos\left(A\right)}=

=3cos2A-1-cos2A2cos(A)=4cos2A-12cos(A)=2cosA-12cos(A)=\dfrac{3\cos^2\left(A\right)-\left(1-\cos^2\left(A\right)\right)}{2\cos(A)}=\dfrac{4\cos^2\left(A\right)-1}{2\cos(A)}=2\cos\left(A\right)-\dfrac{1}{2\cos(A)}

Sätter vi in detta i vårt uttryck för a+b+ca+b+c fås:

a+b+c=b12cos(A)+1+2cosA-12cos(A)=b+2bcosAa+b+c=b\left(\cancel{\dfrac{1}{2\cos(A)}}+1+2\cos\left(A\right)-\cancel{\dfrac{1}{2\cos(A)}}\right)=b+2b\cos\left(A\right)

Använder vi nu det givna uttrycket för omkretsen och sätter in b=5b=5 får vi:

52+10+562=5+10cosA\dfrac{5\sqrt{2}+10+5\sqrt{6}}{2}=5+10\cos\left(A\right)

52+10+56=10+20cosA5\sqrt{2}+\cancel{10}+5\sqrt{6}=\cancel{10}+20\cos\left(A\right)

cosA=52+5620=2+64\cos\left(A\right)=\dfrac{5\sqrt{2}+5\sqrt{6}}{20}=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}

Härifrån kan man som redan diskuterats antingen känna igen rotuttrycket som cos(15°)\cos(15^\circ) eller istället lösa ut för BB som tomast visade. Man får då till slut:

A=15°A=15^\circ

B=30°B=30^\circ

C=135°C=135^\circ

a=5(6-2)2a=\dfrac{5(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}

b=5b=5

c=52c=5\sqrt{2}

tomast80 2467
Postad: 29 jul 2019

Mycket vackert AlvinB! Jag löste den på samma sätt m.h.a. sinussatsen. Roligt att det fanns helt olika typer av lösningar på denna uppgift, det hade jag inte koll på när jag konstruerade uppgiften.

Svara Avbryt
Close