28 svar
199 visningar
suad 218
Postad: 28 jul 2020

vinkler

hej, jag undrar på hur vi kan beräkna intervallen för vinklerna i sfären, när vi inför sfäriska koordinater

Beräkna volymen av området som bestäms av olikheterna x2 + y2 + z2 ≤ 1, y ≥ |x| och z ≤sqrt(x2 + y2).

där x2 och y2 och z2 betyder i kvadrat.

suad 218
Postad: 29 jul 2020

suad 218
Postad: 29 jul 2020

Hej, här är frågan, det som jag undrar på är hur kan man beräkna intervallet för vinklerna när vi byter till sfäriska koordinater 

Micimacko 1092
Postad: 29 jul 2020

Den är ganska snäll, så du kan rita upp ett plan i taget. Först får du radien från klotet, sen ritar du upp den andra funktionen i samma bild som en enhetscirkel och får nästa vinkel. Till slut kan du strunta i y och rita upp konen med bara x och z på axlarna så har du den sista.

suad 218
Postad: 29 jul 2020

hej, och tack för din svar, radien är 1, kan du förklara lite mera hur jag ska rita området

Micimacko 1092
Postad: 29 jul 2020

Rita bara y>|x| först, likadant som du hade gjort på gymnasiet. Rita sen in en enhetscirkel i bilden och visa vad du får.

suad 218
Postad: 29 jul 2020

Micimacko 1092
Postad: 29 jul 2020

Precis. Du vill ha den lilla triangel-liknande biten högst upp. Vinka vinklar har kanterna till den?

suad 218
Postad: 29 jul 2020

suad 218
Postad: 29 jul 2020

Hej, är det den här triangelen, och vad menas med vinka vinklar

Jroth 798
Postad: 29 jul 2020

φ1=?\varphi_1=?

φ2=?\varphi_2=?

suad 218
Postad: 29 jul 2020

φ1= från 0 till pi/4

φ2= från  0 till 3pi/4

Jroth 798
Postad: 29 jul 2020 Redigerad: 29 jul 2020

Just det, så för det svarta området gäller φ[φ1,φ2]\varphi\in [\varphi_1, \varphi_2]

Dvs, gränserna för φ\varphi:

π4<φ<3π4\frac{\pi}{4}<\varphi<\frac{3\pi}{4}

 

Kan du räkna ut gränserna för θ\theta också?

Använd z=rcos(θ)z=r\cos(\theta)

zx2+y2  ?z\leq \sqrt{x^2+y^2} \Rightarrow \quad ?

suad 218
Postad: 29 jul 2020

hej, igen men vad menar du med rightleftarrow

Jroth 798
Postad: 29 jul 2020

Jag har rättat till mitt inlägg nu, det blev fel i Latex.

Du har räknat ut gränserna för vinkeln φ\varphi i xy-planet.

Nästa steg är att räkna ut gränserna för vinkeln θ\theta mot z-axeln.

suad 218
Postad: 29 jul 2020

kan vi använde att sqrt(x^2+y^2) =r och att detta medför att cos(θ) =1 , men då är vinkeln lika med antingen noll eller pi

Jroth 798
Postad: 29 jul 2020

Tänk på att i sfäriska koordinater (3 koordinater, x,y,z) är x2+y2=rsin(θ)\sqrt{x^2+y^2}=r\sin(\theta)

Alltså är zx2+y2rcos(θ)rsin(θ)z\leq \sqrt{x^2+y^2} \iff r\cos(\theta)\leq r\sin(\theta)

suad 218
Postad: 30 jul 2020

Hej, är detta rät

Jroth 798
Postad: 30 jul 2020 Redigerad: 30 jul 2020

Njäe. Det är ingen ekvation. det är en olikhet

rcos(θ)rsin(θ)r\cos(\theta)\leq r\sin(\theta)

Dela båda sidor med r.

cos(θ)sin(θ)\cos(\theta)\leq \sin(\theta)

Dela båda sidor med cos(θ)\cos(\theta)

1tan(θ)1\leq\tan(\theta)

θπ4\theta\geq \frac{\pi}{4}

θ[π/4,π]\theta \in[\pi/4, \pi]

dvs gränserna för θ\theta är π4<θ<π\frac{\pi}{4}<\theta<\pi

I det gula området är zx2+y2z\leq \sqrt{x^2+y^2}

suad 218
Postad: 30 jul 2020

Tack så mycket, men betyder detta att vinkelen börjar från pi/4 till pi. Men hur ser vi att den ska ha pi värdet också .

skulle vinkelen inte vara lik noll då den är lika med sqrt(x^2+y^2)-axeln 

Micimacko 1092
Postad: 30 jul 2020

Nej, du börjar inte alltid på 0, här har vi ett klot utan översta biten, så då måste vi börja på den vinkeln där figuren börjar. Om jag fattade frågan rätt?

suad 218
Postad: 4 dagar sedan

Hej, jag tänkte nämligen på hur vi kommer fram till att vinkelen ska vara från pi/4 till pi. Vi kom fram till att den börjar från pi/4. Men hur ser vi till exempel på figuren, eller beräknar att den ska vara mindre än pi. 
mvh

suad 

Micimacko 1092
Postad: 4 dagar sedan

Eftersom det inte finns någon undre gräns i olikheten kan vinkeln gå hela vägen ner till pi, och då pekar den rakt nedåt så längre än så går aldrig komma i sfäriska koordinater.

suad 218
Postad: 3 dagar sedan

Hej, och tack för din hjälp, nu forstod jag, vinkelen får inte vara större än pi. Därmed ligger den mellan pi/4 och pi.

suad 218
Postad: 12 timmar sedan

hej, igen i ett annat fråga får jag detta området, x^2+y^2+z^2=4, 3z^2=x^2+y^2, z>=0. så jag vet från klotet att radien är 2.  och när vi byter till sfäriska koordinater får vi att vinkelen 0<φ<2pi. och att 0<θ<pi/3. men när jag använder att z=0 och att z=Rcosθ och lösar att cosθ=0, men får att θ=pi/2, så det är inte rätt, och även då jag använder att z=1/sqrt(3)*sqrt(x^2+y^2) som då ger att sqrt(x^2+y^2)=sqrt(3)*Rsinθ. och sätter att Rcosθ=sqrt(3)*Rsinθ får jag också fel, kan jag få hjälp så att jag får rätt intervall

suad 218
Postad: 12 timmar sedan

suad 218
Postad: 12 timmar sedan

Uppgift 7

Smaragdalena 40284 – Moderator
Postad: 7 timmar sedan

suad, gör en ny tråd för den nya frågan, det blir så rörigt annars. /moderator

suad 218
Postad: 6 timmar sedan

tack, det ska jag göra

Svara Avbryt
Close