Visa att a^n + b^n är delbart med a+b (för udda n) – förstår inte metod

Man kanske kan testa för några värden på $n$ och se vad det borde bli? För $n=3$, hur skulle den andra faktorn se ut? Går det att göra något liknande för $n=5$? Kan man generalisera?

Exempel för $n=3$:

Vi vill skriva $a^3+b^3=(a+b)(\dots)$.

Vi väljer den första termen till $a^2$, för att det är vad vi behöver multiplicera $a$ med för att få $a^3$:

$(a+b)(a^2+\dots)$.

Nu får vi dock en term $ba^2$ från när vi multiplicerar den andra termen $b$ med $a^2$. Detta är inget vi vill ha, så vi drar bort en term som vid multiplikation med $a$ ger $ba^2$, alltså:

$(a+b)(a^2-ab+\dots)$.

Nu får vi om vi multiplicerar ut:

$a^3 +ba^2 -a^2b-ab^2= a^3-ab^2$. Vi blev av med en oönskad term, men fick en ny. Eftersom $a\cdot b^2 = ab^2$ lägger vi till termen $b^2$, och får

$(a+b)(a^2-ab+b^2+\dots)$.

Multiplicerar vi ut parenteserna nu får vi

$a^3 +b^3$. Det betyder att vi är klara, och har lyckats med faktoriseringen:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Om det inte funnits sådan faktorisering hade vi dock kunnat hålla på hur länge som helst utan att få det att gå jämnt ut, dvs. att vi vid varje steg fick nya oönskade termer.

Det går också att göra detta med polynomdivision (vilket i princip är samma metod).

Man kan antingen direkt fundera på vad som borde stå i parenteserna, eller så kan man tänka polynomdivision.

Ett sätt, utöver det som du är inne på, skulle kanske kunna vara att tänka modulo $a+b$, om du har haft modulär aritmetik förut.

Vi har att

$a +b\equiv 0\quad(\mod a+b)$,

så

$a\equiv -b\quad (\mod a+b)$.

Då är

$a^n + b^n\equiv a^n +(-a)^n\quad(\mod a+b)$.