Visa att a^n + b^n är delbart med a+b (för udda n) – förstår inte metod

Man kanske kan testa för några värden på $n$ och se vad det borde bli? För $n=3$, hur skulle den andra faktorn se ut? Går det att göra något liknande för $n=5$? Kan man generalisera?

Exempel för $n=3$:

Vi vill skriva $a^3+b^3=(a+b)(\dots)$.

Vi väljer den första termen till $a^2$, för att det är vad vi behöver multiplicera $a$ med för att få $a^3$:

$(a+b)(a^2+\dots)$.

Nu får vi dock en term $ba^2$ från när vi multiplicerar den andra termen $b$ med $a^2$. Detta är inget vi vill ha, så vi drar bort en term som vid multiplikation med $a$ ger $ba^2$, alltså:

$(a+b)(a^2-ab+\dots)$.

Nu får vi om vi multiplicerar ut:

$a^3 +ba^2 -a^2b-ab^2= a^3-ab^2$. Vi blev av med en oönskad term, men fick en ny. Eftersom $a\cdot b^2 = ab^2$ lägger vi till termen $b^2$, och får

$(a+b)(a^2-ab+b^2+\dots)$.

Multiplicerar vi ut parenteserna nu får vi

$a^3 +b^3$. Det betyder att vi är klara, och har lyckats med faktoriseringen:

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Om det inte funnits sådan faktorisering hade vi dock kunnat hålla på hur länge som helst utan att få det att gå jämnt ut, dvs. att vi vid varje steg fick nya oönskade termer.

Det går också att göra detta med polynomdivision (vilket i princip är samma metod).

Ett sätt, utöver det som du är inne på, skulle kanske kunna vara att tänka modulo $a+b$, om du har haft modulär aritmetik förut.

Vi har att

$a +b\equiv 0\quad(\mod a+b)$,

så

$a\equiv -b\quad (\mod a+b)$.

Då är

$a^n + b^n\equiv a^n +(-a)^n\quad(\mod a+b)$.

Jag skriver om uppgiften så att det blir lättare att se.

Antag att vi har ett polynom $p(x)=x^{2k+1} + a^{2k+1}$, där $k=0,1,2,3,...$.

Om polynomet har ett nollställe så kan det faktoriseras (faktorsatsen).

Ett sådant nollställe finns för $x=-a$:

$(-a)^{2k+1}+a^{2k+1} = -a^{2k+1}+a^{2k+1} =0$.

Därför kan polynomet faktoriseras $p(x) = (x+a)\cdot q(x)$ och är delbart med $x+a$.

Jag har också tänkt på att bevisa detta med faktorsatsen förut, men är det giltigt? Kan vi garantera att $q$ är ett polynom med heltalskoefficienter? Eller, mindre specifikt, kan vi garantera att $q(b)$ är ett heltal för alla $b$?

Yes, ok. Då kvotpolynomet $x+a$ har $1$ som koefficient framför den största exponenten av $x$ så kommer vi garanterat få ett heltalspolynom, så allt är giltigt!

Tack! Jag förstår den senare metoden men inte den första. Finns det något annat sätt, en regel som alltid fungerar eller ett annat tips?

Vad menar du med "regel som alltid fungerar"? 

Vad är det som du inte förstår i den första metoden? Vi kan hjälpa till att förtydliga.

$a^{2n+1}+b^{2n+1} = a*a^{2n}+b*b^{2n} = (a+b)*(a^{2n}....$

Okej, jag visar istället var jag fastnar. Hur vet jag vilken nästa term ska bli? 

Vet du hur man utför polynomdivision m.h.a. liggande stolen (resp. trappan)?

Teckna liggande stolen där uttrycket $a^{2m+1} + b^{2m+1}$ (där $n=2m+1$ är ett udda tal) ska divideras med $a+b$ och försök följa divisionsalgoritmen. Du kommer att se ett visst mönster.

Alternativ metod via geometriska summor:

Känner du till formeln för en geometrisk summa med kvoten $q$? d.v.s. följande:

• $1 + q + q^2 + \cdots + q^{2m} = \dfrac{1-q^{2m+1}}{1-q}$

Denna formel medför att

• $(1-q)(1 + q + q^2 + \cdots + q^{2m}) = 1-q^{2m+1}\qquad\qquad(\star)$

Man vill faktorisera

$a^{2m+1} + b^{2m+1} = a^{2m+1} \cdot (1 + (\frac{b}{a})^{2m+1})= a^{2m+1} \cdot (1 - (-\frac{b}{a})^{2m+1})$.

Uttrycket i parentesen i HL stämmer överens med HL i likheten $(\star)$ då $q = -\frac{b}{a}$. Byter man ut parentesen i HL mot VL från $(\star)$, så får man:

$a^{2m+1} + b^{2m+1} = {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.0}a^{2m+1}} \cdot {\color[rgb]{0, 0, 0.7}(1 - (-\frac{b}{a})^{2m+1})} = {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.0}a^{2m+1}} {\color[rgb]{0, 0, 0.7}{(1 - (-\frac{b}{a}))}{(1 + (-\frac{b}{a}) + (-\frac{b}{a})^2 + \cdots + (-\frac{b}{a})^{2m})}} \\ = {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.0}a^1} {\color[rgb]{0, 0, 0.7}{(1 + \frac{b}{a})}} \cdot {\color[rgb]{0.7, 0.0, 0.0}a^{2m}} {\color[rgb]{0, 0, 0.7}{(1 -\frac{b}{a} + \frac{b^2}{a^2} - \cdots + \frac{b^{2m}}{a^{2m}})}}\\ = {(a + b) \cdot (a^{2m} - a^{2m-1}b + a^{2m-2}b^2 - \cdots + b^{2m})}$