Visa att de gaussiska heltalen är en ring (med + och *)

Hej!

Jag har en uppgift i min bok utan facit (Biggs, Discrete Mathematics 22.2)

A complex number of the form $m+ni$ where $m$ and $n$ are integers, is known as a Gaussian integer. Verify that the set $\Gamma$ of Gaussian integers is a ring with respect to the usual addition and multiplication of complex numbers. (You need not verify explicitly the standard properties of complex numbers)

Definitionen av en ring från bok är att vi kräver:

1) R med + är en kommutativ grupp

2) Operationen $\times$ har slutenhet, associativitet, och identitet

3) Distributiva lagarna gäller för + och -

Många gånger när min föreläsare bevisar sådana här grejer så brukar han säga "det är ju vanlig multiplikation, så vi vet vad den uppfyller för egenskaper". Samma med addition.

Så jag är lite osäker vad jag ska skriva i vissa delar av min "verifikation":

• Att + är en kommutativ grupp vet jag hur jag ska motivera, $a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i$ vilken man enkelt kan verifiera är kommutativt (även om någon/några av $a,b,c,d=0$). Det här motsvarar väl koordinatvis addition av vektorer.
• Multiplikation av två komplexa tal sker ju som "vanligt", men här är jag lite osäker. Alltså, multiplikationen $(a+bi)(c+di)$ är ju "vanlig" multiplikation mellan 4 element. Så här vill jag bara dra argumentet "det är vanlig multiplikation", så associativitet gäller. Här är jag osäker på om det är korrekt att tänka så?
• Identitet och slutenhet kan enkelt visas.
• Sen är jag osäker på om man explicit måste visa att de distributiva lagarna eller att de följer från att vi gör "vanlig" multiplikation och koordinatvis addition, där vi vet att det gäller?