Visa att en konvex n-hörning har n(n3)/2 diagonaler.

Hej! Jag undrar om jag tänkt rätt här:

 

Visa att en konvex $n$-hörning har $n(n-3)/2$ diagonaler.

 

Jag vill genom induktion visa att $\frac{n(n-3)}{2}\Rightarrow \frac{(n+1)((n+1)-3)}{2}$ för alla $n \geq 3$, $n \in \mathbb{Z}$. Formeln stämmer överens med att antalet diagonaler i en 4-hörning är

 

$\frac{4(4-3)}{2}=2$

 

och vi får på så sätt ett basfall.

 

Vi behöver nu visa att då vi utgår ifrån att formeln gäller för något $k$,  $\frac{k(k-3)}{2}$, också gäller för $k+1$, $\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}$.

 

I en $k$-hörning kan vi enligt induktionsantagandet dra $\frac{k(k-3)}{2}$ diagonaler. Lägger vi till ett hörn, $k+1$, kan vi från detta dra $k-2$ diagonaler (med andra ord till alla hörn utom de två bredvid). Dessutom kan det dras en diagonal från det första hörnet till hörn nummer $k$. Vi får då att antalet diagonaler i en $(k+1)$-hörning är

 

 $\frac{k(k-3)}{2}+(k-2)+1$

 

 som kan skrivas som 

 

 $\frac{k(k-3)}{2}+\frac{2k-4}{2}+\frac{2}{2}$

 $\frac{k^2-3k+2k-2}{2}$

 $\frac{k^2-k-2}{2}.$

 

 Vi kan då visa att om

 

 $VL=\frac{k^2-k-2}{2}$

 

så är 

 

  $VL=\frac{k^2-k-2}{2}=$

  $\frac{k^2-2k+k-2}{2}=$

  $\frac{(k+1)(k-2)}{2}=$

  $\frac{(k+1)((k+1)-3)}{2}=HL$

 

Enligt induktionsprincipen innebär det att  $\frac{n(n-3)}{2}$ gäller för alla $n \geq 3$, $n \in \mathbb{Z}$.