Visa att en viss trippelintegral är mindre än 1/12
Uppgift:
Jag får inte riktigt till det. Har prövat medelvärdessatsen, övre/nedre begränsningar av integranden osv. Jag lyckas inte bevisa olikheten. Vad vore ett bra första steg i riktning mot en lösning här? z lyckas jag integrera, men x och y är svårare. Jag tänker att det borde finnas nån elegant lösning som inte kräver att man integrerar. Tacksam för hjälp
En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔
Smutstvätt skrev:En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔
Det är nog inte otänkbart att det skulle gå. Kring vilken punkt tänker du? (0,0,0)? Andra gradens taylorpolynom?
Smutstvätt skrev:En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔
Uppdatering:
Det fungerar.
Jag gjorde en McLaurinutveckling och fick:
Som jag sedan integrerar över området. Resultatet är mindre än 1/12.
Nu ska jag väl bara visa att polynomet jag fick av att mclaurinutveckla är större än integranden f.
Tack för hjälpen!
Nej jag skrev fel. Jag får ju förstås skatta felmarginalen. När jag beräknade den ursprungliga integralen i matlab fick jag ett svar som låg väldigt nära det jag fick nu.
Volymen blir väl 1/6, så om man kan visa att integranden aldrig är större än 1/2 så är man hemma. Det är inte ett nödvändigt villkor, men man kan väl kolla om det är uppfyllt.
Dr. G skrev:Volymen blir väl 1/6, så om man kan visa att integranden aldrig är större än 1/2 så är man hemma. Det är inte ett nödvändigt villkor, men man kan väl kolla om det är uppfyllt.
Nej den metoden har jag provat och det funkar inte.
Nä, precis, (0,0) är ju med i intervallet.
EDIt: tänkte visst fel ovan...
Ok så jag löste det. Taylorutvecklingen i origo ger polynomet grad ett:
x + y
När man integrerar över området får man det att bli exakt 1/12. Sedan visade jag med partialderivatorna att taylorpolynomet växer snabbare än f i hela första oktanten och måste därför ligga över f i området. av det följer att trippelintegralen ovan inte kan vara större 1/12.
Taylor låter lite overkill, det är lätt att se att första termen är mindre än x (då det är 2x i täljaren och e^2x samt e^2y är större än eller lika med 1) och andra termen är mindre än y (då nämnaren är större än 1).
JohanB skrev:Taylor låter lite overkill, det är lätt att se att första termen är mindre än x (då det är 2x i täljaren och e^2x samt e^2y är större än eller lika med 1) och andra termen är mindre än y (då nämnaren är större än 1).
Ja det vet jag nu i efterhand. Ibland får man tunnelseende och bara kör på. Det gav samma svar som det du skrev, men det är klart att den enklaste lösningen vore att minimera nämnarna i uttrycken och se att x + y är större eller lika med f på området.
