10 svar
72 visningar
Berty von Fjerty är nöjd med hjälpen
Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 17:13 Redigerad: 4 maj 17:13

Visa att en viss trippelintegral är mindre än 1/12

Uppgift:

Visa att trippelintegralen Tf(x,y,z)dV 112Då f(x,y,z)=2xe2x+e2y+yx2+y4+1och T ges av planen:x = 0y= 0x+y+z=1

Jag får inte riktigt till det. Har prövat medelvärdessatsen, övre/nedre begränsningar av integranden osv. Jag lyckas inte bevisa olikheten. Vad vore ett bra första steg i riktning mot en lösning här? z lyckas jag integrera, men x och y är svårare. Jag tänker att det borde finnas nån elegant lösning som inte kräver att man integrerar. Tacksam för hjälp

En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔

Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 17:24
Smutstvätt skrev:

En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔

Det är nog inte otänkbart att det skulle gå. Kring vilken punkt tänker du? (0,0,0)? Andra gradens taylorpolynom? 

Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 18:08
Smutstvätt skrev:

En ren chansning: Hur blir det med en taylorutveckling? 🤔

Uppdatering:

Det fungerar.

Jag gjorde en McLaurinutveckling och fick:

x+y-x2-xy

Som jag sedan integrerar över området. Resultatet är mindre än 1/12.

Nu ska jag väl bara visa att polynomet jag fick av att mclaurinutveckla är större än integranden f.

Tack för hjälpen!

Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 18:18

Nej jag skrev fel. Jag får ju förstås skatta felmarginalen. När jag beräknade den ursprungliga integralen i matlab fick jag ett svar som låg väldigt nära det jag fick nu. 

Dr. G 6622
Postad: 4 maj 19:29

Volymen blir väl 1/6, så om man kan visa att integranden aldrig är större än 1/2 så är man hemma. Det är inte ett nödvändigt villkor, men man kan väl kolla om det är uppfyllt. 

Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 20:09
Dr. G skrev:

Volymen blir väl 1/6, så om man kan visa att integranden aldrig är större än 1/2 så är man hemma. Det är inte ett nödvändigt villkor, men man kan väl kolla om det är uppfyllt. 

Nej den metoden har jag provat och det funkar inte. 

Dr. G 6622
Postad: 4 maj 20:14 Redigerad: 4 maj 20:18

Nä, precis, (0,0) är ju med i intervallet. 

EDIt: tänkte visst fel ovan...

Berty von Fjerty 67
Postad: 4 maj 23:57

Ok så jag löste det. Taylorutvecklingen i origo ger polynomet grad ett:

x + y

När man integrerar över området får man det att bli exakt 1/12. Sedan visade jag med partialderivatorna att taylorpolynomet växer snabbare än f i hela första oktanten och måste därför ligga över f i området. av det följer att trippelintegralen ovan inte kan vara större 1/12. 

JohanB 159 – Lärare
Postad: Igår 17:16

Taylor låter lite overkill, det är lätt att se att första termen är mindre än x (då det är 2x i täljaren och e^2x samt e^2y är större än eller lika med 1) och andra termen är mindre än y (då nämnaren är större än 1).

Berty von Fjerty 67
Postad: Igår 22:05 Redigerad: Igår 22:05
JohanB skrev:

Taylor låter lite overkill, det är lätt att se att första termen är mindre än x (då det är 2x i täljaren och e^2x samt e^2y är större än eller lika med 1) och andra termen är mindre än y (då nämnaren är större än 1).

Ja det vet jag nu i efterhand. Ibland får man tunnelseende och bara kör på. Det gav samma svar som det du skrev, men det är klart att den enklaste lösningen vore att minimera nämnarna i uttrycken och se att x + y är större eller lika med f på området.

Svara Avbryt
Close