Visa att ett tredjegradspolynom har exakt ett reellt nollställe (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Ska jag börja med att gissa en rot till ekvationen ?

För ett reellt nollställe gäller väl att Im(z)=0 ?

Du kan försöka skissa grafen till polynomet (m.h.a. derivatan) och sedan räkna hur många gånger den korsar x-axeln. (Reella nollställen är ju x-koordinater på de punkter där grafen skär x-axeln)

Ok, kommer det att underlätta att uppskatta en rot till ekvationen?

Man behöver inte uppskatta roten då vi bara ska visa att exakt en reell rot existerar. Vad får du fram från att derivera polynomet?

$p' (x) = 3 x^{2} + 3$

Har du några ideer på hur vi kan utnyttja derivatan?

Lite osäker men jag kan väl ta reda på x-koordinaten för derivatans nollställe.

Derivatans nollställe (som i detta fall inte ens är reellt!) ger vart funktionen har en extrempunkt, vilket inte ger oss information om vart funktionen i sig har ett nollställe.

Det du kan tänka på är att $p^\prime(x) > 0$ för alla $x$ . Därmed är $p$ en växande funktion. Vad säger detta dig?

Maximi punkt ?

Vad menar du?

Nje, jag blandade ihop med andra derivatan

Jag vet inte vad du ville att jag skulle komma fram till i

#10

$p$ är strängt växande. Det betyder att om $a < b$ så är $p(a) < p(b)$ . Eller enklare sagt, ju större tal man stoppar in, desto större tal får man ut.

Säg att det finns ett nollställe till funktionen, vi säger att det sker vid $x=\alpha$ , dvs $p(\alpha)=0$ . Kan det då finnas något nollställe till funktionen när $x>\alpha$ ? Kan det finnas något nollställe när $x < \alpha$ ?

Jo, jag kan använda derivtan för att se vilka punkter som funktionen växer/ avtar

Vad kommer du fram till om du gör det?

AlexMu skrev:
Vad kommer du fram till om du gör det?

Det här

$p' (x) = 3 x^{2} + 3 p' (x) = 0 3 x^{2} + 3 = 0 3 (x^{2} + 1) = 0 x^{2} + 1 = 0 (x + i) (x - i) = 0 x = \pm i$

Det stämmer, men frågan handlar bara om reella $x$ . Om du analyserar $p^\prime$ endast för reella tal, vad kommer du fram till då?

Är det 0 ?

Är vad 0?

jag lite osäker på vad du menar med reella x ?

Tal som inte har en imaginärdel, $2, \pi, 7, \sqrt 2$ är reella. Medan $i, 1+i, \pi i$ är inte det.

Frågan handlar om ett polynom som har reella inputs och reella outputs. Därmed bör vi låta $x$ vara ett reellt tal. För våra ändamål har $p^\prime$ inga nollställen, då dess nollställen inte är reella.

Vi undersöker derivatan igen. $p^\prime(x) = 3x^2+3$ . När $x$ är ett reellt tal gäller det att $x^2 \geq 0$ . Från detta följer det att $3x^2+3 > 0$ . Därmed är $p^\prime(x) > 0$ för alla reella tal $x$ . Vad kan du dra för slutsats från detta?

Äre $x > i ?$

Man kan inte jämföra något med komplexa tal, de är inte ordnade. Påståendet $1+i > 2-i$ eller liknande betyder ingenting. Du behöver inte tänka på komplexa tal alls i denna fråga, de kommer inte hjälpa till.

Den slutsatsen jag ville att du skulle dra i #24 och #10 är att funktionen $p$ alltid är växande!

Ok, jag undrar hur kan jag visa att funktionen p(x) har ett reellt nollställe ?

I frågan måste vi faktiskt visa två saker:

1. Det finns ett reellt nollställe.
2. Det finns inte fler än ett nollställe.

Jag tycker det är bra att börja med det andra. Vi kan använda att $p$ är växande för att visa att det högst kan finnas ett nollställe.

Som jag nämnde i #15 gäller det för växande funktioner att om $a<b$ så är $p(a) < p(b)$ .

Säg att vi då hittat ett nollställe, som jag kallar för $\alpha$ , då gäller det att $p(\alpha)=0$ .

Använd nu att $p$ är växande och besvara dessa två frågor

Om $x>\alpha$ , kan $p(x)$ ha ett nollställe?
Om $x<\alpha$ , kan $p(x)$ ha ett nollställe?

Om du känner dig osäker på växande funktioner så kan du läsa om det här.

Jag tror den första stämmer

Vad menar du med att den första stämmer (osäker då det inte är ett påstående, utan en fråga)? Att det kan finnas ett nollställe om $x>\alpha$ ?

kan säga att $x^{2} + 1 > 0$

Ja, det stämmer. För att gå vidare därifrån tror jag att det underlättar att illustrera det hela grafiskt.

Varje tredjegradsfunktion med positiv koefficient framför x³-termen har en graf med någon av dessa tre principiella utseenden:

Graf A saknar stationära punkter, graf B har exakt en stationär punkt och graf C har exakt två stationära punkter.

Kan du säga vilken av dessa tre typer som funktionen i uppgiften motsvarar?

Jag skulle säga graf A

Arup skrev:
Jag skulle säga graf A

Ja, det stämmer.

Funktionen som motsvarar

graf A har en derivata som saknar reella nollställen.
graf B har en derivata som har exakt ett reellt nollställe.
graf C har en derivata som har exakt två reella nollställen.

Du ser på graf A att den hela tiden växer (är överallt strängt växande) och att den alltså aldrig vänder neråt som graf C.

Det betyder I sin tur att när grafen väl har passerat x-axeln "underifrån" så kommer den inte att vända tillbaka och passera x-axeln igen "ovanifrån", som graf C skulle kunna göra.

Eftersom alla tredjegradsfunktioner har minst ett nollställe (dvs deras grafer passerar x-axeln på minst ett ställe) så betyder det att ditt polynom har exakt ett nollställe VSV.

Är du med på allt detta?

Jag hänger lite med , men skulle säga att jag är för det mesta lite osäker, vilket kan ha att göra med att min mattebok täcker så många problem av denna typ av frågeställning.

Utöver undrar jag ifall man skulle kunna bevisa att polynomet har ett reellt nollställe genom andra metoder som polynomdivision eller insättning ?

Arup skrev:
[...]

Utöver undrar jag ifall man skulle kunna bevisa att polynomet har ett reellt nollställe genom andra metoder som polynomdivision eller insättning ?

Nej,båda metoderna du använder förutsätter att du känner till ett nollställe, vilket vi inte gör.

Men det finns en sats som säger att om ett polynommed reella koefficienter har en komplex rot a+bi så är även komplexkonjugatet a-bi en rot.

Detta innebär att eventuella komplexa rötter alltid förekommer i komplexkonjugerade par.

Eftersom det givna polynomet är.av udda grad (3) så innebär det att det måste finnas åtminstone en reell rot.