Visa att f som är 1 på rationella, 0 på irrationella inte är gränsvärde av kontinuerliga funktioner

Hej! Jag försöker lösa följande problem 

Let $\displaystyle f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}1,\;x\in \mathbb Q\0,\;x\notin \mathbb Q\end{array}\right.$

Prove that $f$ is not a pointwise limit of any sequence $\{f_n\}$ of continuous functions. 

Det viktigaste tror jag är att mängden som mappas till $1$ (dvs $\mathbb Q$) och mängden som mappas till $0$ (dvs $\mathbb R\setminus \mathbb Q$) av $f$ är dense i $\mathbb R$.

Alla mina försök hade något fundamentalt fel som gjorde det essentiellt omöjligt att reparera och fortsätta på liknande sätt (kändes det som iaf, blev rätt frustrerad). Några ledtrådar på hur man kan ta sig till väga?