40 svar
282 visningar
Joh_Sara är nöjd med hjälpen
Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 08:02

visa att följande identitet stämmer

Hej ska lösa den här uppgiften så att VL=HL

12(1-tanv)+12(1+tanv)=sin2vcos(2v)

jag har gjort såhär:

multiplicera in 2 i varje parentes i nämnaren:12-2*tanv+12+2*tanv(tanv=sinvcosv)12-2*sinvcosv+12+2*sinvcosvsen kommer jag inte vidare. någon som vill förklara hur det blir?

Bedinsis 804
Postad: 2 feb 08:23

Jag vet inte exakt hur man skall gå till väga.

En sak du skulle kunna pröva är att förlänga det två ensamma tvåorna med cos(v)/cos(v), så att alla termer i nämnarna är bråk med nämnaren cos(v). Då kan man flytta över cos(v) till täljarna.

[uttryck1][uttryck2]cosv=[uttryck1]*cosv[uttryck2]

Då har du två termer i form av bråk med olika nämnare. Försök att få dem på gemensam nämnare. I samband med det, kolla i formelsamlingen efter samband man kan utnyttja för att förenkla uttrycket.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 09:20

förstår inte....

Laguna 14991
Postad: 2 feb 09:30

Förläng båda bråken med cos(v) och förenkla. Sedan kan du sätta dem på gemensam nämnare, så ska det gå att förenkla en hel del.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 09:45

så när jag är här:

12-2*sinvcosv+12+2*sinvcosv

ska jag förlänga med cosv

så får jag:

12-2*sinvcosvförlänger med cosv och får cosv2cosv-2cosv*sinvcosv12+2*sinvcosv förlänger med cosv och får cosv2cosv+2cosv*sinvcosv

det är inte rätt könns det som...

Bedinsis 804
Postad: 2 feb 09:51

Jag menade att man kan göra så här:

12-2*sinvcosv+12+2*sinvcosv=12*cosvcosv-2*sinvcosv+12*cosvcosv+2*sinvcosv=12*cosv-2*sinvcosv+12*cosv+2*sinvcosv=cosv2*cosv-2*sinv+cosv2*cosv+2*sinv

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 10:38

hmm okej.. hänger inte riktigt med på detta steg:

 

12*cosvcosv-2*sinvcosvcosv+12*cosvcosv+2*sinvcosvcosv

Bedinsis 804
Postad: 2 feb 10:47

Jag visar hur man gör på den ena termen; uträkningen är närapå identisk på den andra.12*cosv-2*sinvcosv=1*cosv2*cosv-2*sinv2*cosv-2*sinvcosv*cosv2*cosv-2*sinv=1*cosv2*cosv-2*sinv2*cosv-2*sinv*cosvcosv*2*cosv-2*sinv=1*cosv2*cosv-2*sinv2*cosv-2*sinv*cosvcosv*2*cosv-2*sinv=1*cosv2*cosv-2*sinvcosvcosv=1*cosv2*cosv-2*sinvcosvcosv=1*cosv2*cosv-2*sinv=cosv2*cosv-2*sinv

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 14:10

jag känner mig oerhört trög och dum men jag hänger inte med på det här 

Bedinsis 804
Postad: 2 feb 14:22

Om vi abstraherar ytterligare: antag att vi har två bråk som vi vill dela med varandra, hur går vi då tillväga?

t.ex.

abcd

Då förlänger vi först med d/c:

ab*dccd*dc

Om vi nu tittar på nämnaren för sig:

cd*dc=c*dd*c=c*dd*c=dd=1

Då får vi alltså nämnaren 1. Detta gör det stora bråket enklare:

ab*dccd*dc=ab*dc1=ab*dc

Från detta får vi att om man dividerar två bråk med varandra så blir resultatet att man skall multiplicera bråket i täljaren med det inverterade bråket i nämnaren:

abcd=ab*dc

I uppgiften var a/b ännu enklare: det var bara talet 1.

Nämnaren c/d motsvarades av 2*cos(v)-2*sin(v)cos(v).

Så resultatet i slutändan borde då bli 1 gånger den inverterade nämnaren, dvs.

1*cos(v)2*cos(v)-2*sin(v)

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 2 feb 17:32

jag förstår fortfarande inte. 

har gjort såhär:

12(1-tanv)+12(1+tanv)=sin2vcos(2v)vi vill ha samma nämnare (1-tanv) (1+tanv)=1-tan2vdå har vi1+tanv+1-tanv2(1-tan2v)+2(1-tan2v) - +tanv och -tanv tar ut varandra, kvar blir 2tvåorna tar ut varandra i nämnaren och täljaren, kvar blir 1.11-tan2v11-sin2vcos2v

Bedinsis 804
Postad: 2 feb 18:49

Okej.

Då borde det gå att göra på detta viset:

11-sinv2cosv2=11*cosv2cosv2-sinv2cosv2=1cosv2cosv2-sinv2cosv2

Betraktar man nämnaren för sig:

cosv2cosv2-sinv2cosv2= cosv2-sinv2cosv2

Så uttrycket vi har är

1cosv2-sinv2cosv2

Nu kommer vi till den här biten med dividera 1 med ett bråk. Vi tar nu till knepet att vi kan multiplicera hela uttrycket med 1 utan att förändra det.

1cosv2-sinv2cosv2*1

Då kan man fråga sig vilka tal som blir 1 då man räknar ut dem. Ett sätt att få ett är att dividera ett tal med sig självt.

T.ex. talet cosv2.

1=cosv2cosv2

Sätter vi in det ovan så får vi

1cosv2-sinv2cosv2*1=1cosv2-sinv2cosv2*cosv2cosv2

Två bråk gånger varandra blir täljare gånger täljare delat på nämnare gånger nämnare.

Täljare gånger täljare:

1*cosv2=cosv2

Nämnare gånger nämnare:

cosv2-sinv2cosv2*cosv2=cosv2-sinv2*cosv2cosv2=cosv2-sinv2*cosv2cosv2=cosv2-sinv21=cosv2-sinv2

Täljare delat på nämnare:

cosv2cosv2-sinv2

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 3 feb 07:26

okej, men det måste vara fel i svaret för det blir ju inte samma svar som HL?

Bedinsis 804
Postad: 3 feb 08:01 Redigerad: 3 feb 08:05

Tja, det är det som uppgiften går ut på: att fortsätta räkna om med termerna tills att man får fram högerledet.

Edit: Säger jag, trots att jag ser att vänsterledet inte kommer att bli högerledet. Hm...

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 3 feb 08:22

ja jag har försökt att räkna som du har gjort, var i två räknestugor plus en chatt igår och vi fick inte fram VL=HL... konstigt då jag antar att nästan alla sådana uppgifter ska bli samma..?

Bedinsis 804
Postad: 3 feb 08:43 Redigerad: 3 feb 08:43

Jag prövade precis att slå original-vänsterledet och original-högerledet i mjukvara för matematiska uträkningar (Numerical Python) för ett specifikt värde på v, i mitt fall 10.

Jag fick olika svar.

Om jag däremot antog att det stod fel i högerledet och de menade att täljaren där skulle vara cosinus i kvadrat och ej sinus i kvadrat så fick jag samma svar.

Om vi sedan väljer att titta på en lättuträknad vinkel, t.ex. v=0 grader, så blir tan(v) =0, sin(v)^2 = 0, cos(2*v) = 1, vilket ger VL= 1/2+1/2=1 och HL= 0/1=0, vilket ju även det skiljer sig åt.

Det måste vara fel i uppgiften.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 3 feb 08:45

okej, tack ska ta detta med min lärare.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 10:00

jag inser nu att jag har missat att skriva ut -1 i uppgiften.

 

Den ska se ut såhär: 

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)

Bedinsis 804
Postad: 4 feb 10:07

Så det var en extra -1 i vänsterledet?

I så fall borde vänsterledet kunna förenklas ändå, fast istället för att i slutändan nå

cosv2cosv2-sinv2

borde vi nå

cosv2cosv2-sinv2-1

Kan du förenkla det, t.ex. genom att få de två termerna på en gemensam nämnare?

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 10:28

om jag förlänger -1 med nämnaren så att det blir gemensam nämnare?

alltså:

 cos2vcos2v-sin2v-1cos2vcos2v-sin2v-1*cos2v-sin2v1*cos2v-sin2vcos2vcos2v-sin2v-cos2v-sin2vcos2v-sin2v=cos2v-cos2v-sin2vcos2v-sin2v-cos2v-sin2v=-sin2v-2sinv2v

känns som jag gör något tokigt??

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 10:30

men svaret blir = 1/2 så något galet har hänt

Laguna 14991
Postad: 4 feb 10:48

Det du har kommit fram till är ju 1/2 (utom när v = 0 så det får man kolla separat).

Bedinsis 804
Postad: 4 feb 11:07
Joh_Sara skrev:

om jag förlänger -1 med nämnaren så att det blir gemensam nämnare?

alltså:

 cos2vcos2v-sin2v-1cos2vcos2v-sin2v-1*cos2v-sin2v1*cos2v-sin2vcos2vcos2v-sin2v-cos2v-sin2vcos2v-sin2v=cos2v-cos2v-sin2vcos2v-sin2v-cos2v-sin2v=-sin2v-2sinv2v

känns som jag gör något tokigt??

Ja, du gör två räknefel, båda vid det näst sista =-tecknet:

För det första: om man har två bråk med gemensam nämnare så får man ut differensen genom att subtrahera täljarna med varandra och låta nämnarna vara oförändrade. Om vi till exempel har 2 fjärdedels pizza och tar bort 1 fjärdedels pizza har vi kvar en fjärdedels pizza.

24-14=2-14=1424-142-14-4

För det andra står det en implicit parentes runt täljaren i den andra termen, vilket gör att då vi har ett minustecken framför uttrycket som helhet måste vi invertera alla minustecken innanför parentesen.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 11:20

hmm... men då blir det i täljaren

 sin2voch i nämnaren: blir den som den är? cos2v-sin2vså vi har sin2vcos2v-sin2v

Bedinsis 804
Postad: 4 feb 11:24

Just det.

Jämför detta med högerledet.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 11:33 Redigerad: 4 feb 11:37

jag ska räkna från början så att jag hänger med på alla delar:

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)vi vill ha gemensamm nämnare: (1-tanv)(1+tanv)=(1-tan2v)12(1-tan2v)+12(1-tan2v) ( multiplicera nämnaren med täljaren)1(1-tan2v)2(1-tan2v)+1(1-tan2v)2(1-tan2v) ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck)1-tan2v+1-tan2v2(1-tan2v)=22(1-tan2v) (stryker tvåorna) = 11-tan2v(tanv=sinvcosv) ger 11-sin2vcos2v (förläng med cos2v)=1cos2vcos2v-sin2vcos2vNu har vi 1cos2vcos2v-sin2vcos2v-1=sin2vcos(2v)

Hur gick vi vidare härifrån?

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 11:44

tror jag kom på det:

vi har :1cos2v-sin2vcos2v-1 

men hur blir det med -1? för förra gången multiplicera vi den med nämnaren så att vi kunde ställa det på samma bråckstreck. 

Bedinsis 804
Postad: 4 feb 11:47
Joh_Sara skrev:

jag ska räkna från början så att jag hänger med på alla delar:

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)vi vill ha gemensamm nämnare: (1-tanv)(1+tanv)=(1-tan2v)12(1-tan2v)+12(1-tan2v) ( multiplicera nämnaren med täljaren)1(1-tan2v)2(1-tan2v)+1(1-tan2v)2(1-tan2v) ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck)1-tan2v+1-tan2v2(1-tan2v)=22(1-tan2v) (stryker tvåorna) = 11-tan2v(tanv=sinvcosv) ger 11-sin2vcos2v (förläng med cos2v)=1cos2vcos2v-sin2vcos2vNu har vi 1cos2vcos2v-sin2vcos2v-1=sin2vcos(2v)

Du gör ett fel i början som du sedan tycks ignorera:

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)vi vill ha gemensamm nämnare: (1-tanv)(1+tanv)=(1-tan2v)12(1-tan2v)+12(1-tan2v) 1(1-tan2v)2(1-tan2v)+1(1-tan2v)2(1-tan2v) ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck)

Du vill ställa de två bråken på gemensam nämnare, och därför förlänga så att de får gemensam nämnare.

Du tittade efter vilka faktorer som var unika och gemensamma för de två nämnarna och valda att förlänga så att allt unikt skulle ingå.

Du insåg att (1+tan(x))*(1-tan(x)) blir det snälla uttrycket 1-tan2(x) och därför gjorde du den uträkningen.

Bra så långt.

Hur bär man sig då åt för att få denna nämnare för de två bråken?

12(1-tanv)=12(1-tanv)*1=12(1-tanv)*(1+tanv)(1+tanv)=(1+tanv)2(1-tanv)(1+tanv)=(1+tanv)2(1-tan2v)

respektive

12(1+tanv)=12(1+tanv)*1=12(1+tanv)*(1-tanv)(1-tanv)=(1-tanv)2(1+tanv)(1-tanv)=(1-tanv)2(1-tan2v)

Av någon anledning kom du vid något tillfälle fram till att uttrycket skulle vara

1(1-tan2v)2(1-tan2v)+1(1-tan2v)2(1-tan2v)

vilket ju man skulle kunna förenkla till

1(1-tan2v)2(1-tan2v)+1(1-tan2v)2(1-tan2v)=12+12=1

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 17:50

jag fattar inte längre den här uppgiften. Jag ger upp

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 4 feb 17:52 Redigerad: 4 feb 17:57

jag fattar inte blir det 1nu?

och inte 11-tan2v??

känner att jag förstår mindre och mindre ju mer jag håller på.

Bedinsis 804
Postad: 4 feb 18:03 Redigerad: 4 feb 18:04

Det blev inte 1, nej.

Det var just det som var min poäng. Av någon anledning kom du efter ett tag i dina uträkningar fram till att vänsterledet blev en summa som blev garanterat 1 oavsett vilken vinkel det var frågan om. Detta stämmer inte, och det var det jag ville visa.

Det stämmer att 

121-tanv+121+tanv

blir 

11-tanv2

om man räknar på det, men stegen dit skrev du fel på.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 5 feb 09:09

var det fel på alla steg?

Bedinsis 804
Postad: 5 feb 09:48 Redigerad: 5 feb 09:50

Vi kan väl kolla:

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)

Inga fel här

vi vill ha gemensamm nämnare: 

Vettigt tankesätt

(1-tanv)(1+tanv)=(1-tan2v)

Uträkningen ovan stämmer

12(1-tan2v)+12(1-tan2v)

Och här har det hunnit bli fel. Det ena bråket har multiplicerats med 11+tanv, det andra med 11-tanv.

Man kan inte multiplicera termer med tal helt godtyckligt om likheten skall bestå. Om man ska bevisa att 1+2=3 kan man inte multiplicera 1 med 0 och 2 med 10 och sedan säga att nu har vi uttrycket 0+20=3.

Det man kan göra är matematiska operationer som inte förändrar uttrycken värdemässigt men som gör att de blir mer lätthanterliga.

I det här fallet vill du få de två bråken mer lätthanterliga genom att ge de en gemensam nämnare. Ett vettigt tillvägagångssätt. Men om vi nu inte kan multiplicera med 11+tanvoch 11-tanv,vad kan vi då göra som inte förändrar värdet?

Jo: vi kan multiplicera med 1+tanv1+tanvoch 1-tanv1-tanv. Dessa har båda värdet 1, så att multiplicera med dessa förändrar inte värdet. Låt oss göra detta:

12(1-tanv)*1+tanv1+tanv+12(1+tanv)*1-tanv1-tanv-1=sin2vcos(2v)

Då kan vi göra följande:

12(1-tanv)*1+tanv1+tanv+12(1+tanv)*1-tanv1-tanv-1=1*1+tanv2(1-tanv)1+tanv+1*1-tanv2(1+tanv)1-tanv-1=1+tanv21-tanv2+1-tanv21-tanv2-1

Nu då vi fått gemensam nämnare kan vi ställa de två bråken på gemensamt bråkstreck

1+tanv21-tanv2+1-tanv21-tanv2-1=1+tanv+1-tanv21-tanv2-1=221-tanv2-1=11-tanv2-1

Detta var uttrycket du fick så småningom(mer eller mindre; i den här genomgången valde jag att låta -1 vara med från första början):

22(1-tan2v) (stryker tvåorna) = 11-tan2v

Men där emellan hade du uttryck som inte beskrev vänsterledet.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 8 feb 15:29

okej jag hänger med på detta led. Men hur blev det sedan med -1? för vi ska förlänga med nämnaren? 

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 8 feb 15:37

för av det vi har nu är 11-tan2v-1och det kan vi skriva11-sin2vcos2v-1

Bedinsis 804
Postad: 8 feb 16:35

Du kan skriva om -1 så att den får samma nämnare som den första termen. Det är ett vettigt tillvägagångssätt.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 9 feb 09:34

okej ¨h tycker det här är svårt men jag har försökt såhär:

11-tan2v-1förlänger bråket -11 med 11-tan2v får= 11.tan2v-1-tan2v1-tan2vskriver på samma bråkstreck 1-1-tan2v1-tan2v(tan2v=sin2vcos2v)1-1-sin2vcos2v1-sin2vcos2v (1-1 i täljaren tar ut varandra =0)-sin2vcos2v1-sin2vcos2v (förlänger 1 i nämnaren med cos2v)-sin2vcos2vcos2v-sin2vcos2v ( nu kan vi förenkla genom att stryka nämnaren cos2v)-sin2vcos2v-sin2v=-sin2vcos(2v)varför får jag det negativt?

Bedinsis 804
Postad: 9 feb 09:50 Redigerad: 9 feb 09:51

Du gör en liten miss. En liten. Annars var det helt rätt. Bra jobbat!

Då du skriver

förlänger bråket -11 med 11-tan2v får= 11.tan2v-1-tan2v1-tan2vskriver på samma bråkstreck 1-1-tan2v1-tan2v

missar du att det står en implicit parentes runt täljaren i det andra bråket. Och då man subtraherar en parentes så byter man ju tecken. Så här borde det alltså vara:

förlänger bråket -11 med 11-tan2v får= 11.tan2v-1-tan2v1-tan2vskriver på samma bråkstreck 1-1-tan2v1-tan2v=1-1+tan2v1-tan2v=tan2v1-tan2v

I övrigt... så ser jag nu att du gjorde en annan liten miss, men jag tror den är att du har räknat och tänkt rätt, bara att det blev lite fel då du skulle skriva in uttrycket:

-sin2vcos2v1-sin2vcos2v -sin2vcos2v1-sin2vcos2v (förlänger 1 i nämnaren med cos2v)

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 9 feb 10:23 Redigerad: 9 feb 10:24

åh okej nu räknar jag allt från första början. Tror ändå att jag greppar det här nu :)

12(1-tanv)+12(1+tanv)-1=sin2vcos(2v)vi börjar med att ta fram gemensamma nämnaren genom att multiplicera med (1-tanv) respektive (1+tanv)1*(1+tanv)2(1-tanv)*(1+tanv)+1*(1-tanv)2(1+tanv)*(1-tanv)vi får 1+tanv2(1-tan2v)+1-tanv1(1-tan2v) vi har samma nämnaren och kan skriva det på samma bråkstreck1+tanv+1-tanv2(1-tan2v)=22(1-tan2v) (vi kan förkorta bort 2:orna)11-tan2vvi har nu uttrycket 11-tan2v-1=sin2vcos(2v)vi ska nu mu förlänga -1 med 1-tan2v11-tan2v-1*(1-tan2v)1*1-tan2v= 11-tan2v-(1-tan2v)1-tan2v Vi kan nu skriva det på samma bräkstreck1-(1-tan2v)1-tan2v= 1-1+tan2v1-tan2v=tan2v1-tan2v (vi vet att tan2v=sin2vcos2v)uttryckket blir därför = sin2vcos2v1-sin2vcos2v Här ska vi nu förlänga 1 med cos2vsin2vcos2v1*cos2v1*cos2v-sin2vcos2v vi har nu gemensam näämnare och kan skriva på samma bråkstreck:sin2vcos2vcos2v-sin2vcos2v vi kan nu förkorta bort cos2v i respektive nämnare och får:sin2vcos2v-sin2v vilket i sin tur blir lika med sin2vcos(2v)

 

Är jag äntligen färdig??? :D

Bedinsis 804
Postad: 9 feb 10:29 Redigerad: 9 feb 10:31

Ja.

Hoppas de här inläggen har varit givande.

Edit: Kom på att du antagligen skall lägga till "VSV" eller "Vilket skulle visas" efter hela uträkningen, för att indikera att detta vänsterled som du nu räknat med en hel del faktiskt är lika med det efterfrågade högerledet.

Joh_Sara 726 – Avstängd
Postad: 9 feb 10:30

tack så mycket för all hjälp och ditt tålamod! äntligen :)

Svara Avbryt
Close