visa att följande identitet stämmer

Jag vet inte exakt hur man skall gå till väga.

En sak du skulle kunna pröva är att förlänga det två ensamma tvåorna med cos(v)/cos(v), så att alla termer i nämnarna är bråk med nämnaren cos(v). Då kan man flytta över cos(v) till täljarna.

$\frac{\left[uttryck1\right]}{{\displaystyle \frac{\left[uttryck2\right]}{\cos \left(v\right)}}}=\frac{\left[uttryck1\right]*\cos \left(v\right)}{\left[uttryck2\right]}$

Då har du två termer i form av bråk med olika nämnare. Försök att få dem på gemensam nämnare. I samband med det, kolla i formelsamlingen efter samband man kan utnyttja för att förenkla uttrycket.

förstår inte....

Förläng båda bråken med cos(v) och förenkla. Sedan kan du sätta dem på gemensam nämnare, så ska det gå att förenkla en hel del.

så när jag är här:

$\frac{1}{2-2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}+\frac{1}{2+2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}$

ska jag förlänga med cosv

så får jag:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2-2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}förlänger med \cos v och får \frac{\cos v}{{\displaystyle \frac{2}{\cos v}}-{\displaystyle \frac{2}{\cos v}}*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}} \\ \frac{1}{2+2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}} förlänger med \cos v och får \frac{\cos v}{{\displaystyle \frac{2}{\cos v}}+{\displaystyle \frac{2}{\cos v}}*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}} \end{gathered}$$

det är inte rätt könns det som...

Jag menade att man kan göra så här:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2-2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}+\frac{1}{2+2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}= \\ \frac{1}{2*{\displaystyle \frac{\cos v}{\cos v}}-2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}+\frac{1}{2*\frac{\cos v}{\cos v}+2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}= \\ \frac{1}{{\displaystyle \frac{2*\cos v-2*\sin v}{\cos v}}}+\frac{1}{\frac{2*\cos v+2*\sin v}{\cos v}}= \\ \frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}+\frac{\cos v}{2*\cos v+2*\sin v} \end{gathered}$$

hmm okej.. hänger inte riktigt med på detta steg:

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2*{\displaystyle \frac{\cos v}{\cos v}}-2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}}}{\cos v}+\frac{{\displaystyle \frac{1}{2*{\displaystyle \frac{\cos v}{\cos v}}+2*{\displaystyle \frac{\sin v}{\cos v}}}}}{\cos v}$

Jag visar hur man gör på den ena termen; uträkningen är närapå identisk på den andra.$$\begin{gathered} \frac{1}{{\displaystyle \frac{2*\cos v-2*\sin v}{\cos v}}}=\frac{1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}}{{\displaystyle \frac{\left(2*\cos v-2*\sin v\right)}{\cos v}*\frac{\cos v}{\left(2*\cos v-2*\sin v\right)}}}= \\ \frac{1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}}{{\displaystyle \frac{\left(2*\cos v-2*\sin v\right)*\cos v}{\cos v*\left(2*\cos v-2*\sin v\right)}}}=\frac{1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}}{{\displaystyle \frac{\sout{\left(2*\cos v-2*\sin v\right)}*\cos v}{\cos v*\sout{\left(2*\cos v-2*\sin v\right)}}}}= \\ \frac{1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}}{{\displaystyle \frac{\cos v}{\cos v}}}=\frac{1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}}{{\displaystyle \frac{\sout{\cos v}}{\sout{\cos v}}}}=1*\frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v}= \\ \frac{\cos v}{2*\cos v-2*\sin v} \end{gathered}$$

jag känner mig oerhört trög och dum men jag hänger inte med på det här 

Om vi abstraherar ytterligare: antag att vi har två bråk som vi vill dela med varandra, hur går vi då tillväga?

t.ex.

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}$

Då förlänger vi först med d/c:

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}*{\displaystyle \frac{d}{c}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}*{\displaystyle \frac{d}{c}}}$

Om vi nu tittar på nämnaren för sig:

$\frac{c}{d}*\frac{d}{c}=\frac{c*d}{d*c}=\frac{\sout{c}*d}{d*\sout{c}}=\frac{d}{d}=1$

Då får vi alltså nämnaren 1. Detta gör det stora bråket enklare:

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}*\frac{d}{c}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}*\frac{d}{c}}}=\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}*\frac{d}{c}}}{{\displaystyle 1}}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}$

Från detta får vi att om man dividerar två bråk med varandra så blir resultatet att man skall multiplicera bråket i täljaren med det inverterade bråket i nämnaren:

$\frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}}{{\displaystyle \frac{c}{d}}}=\frac{a}{b}*\frac{d}{c}$

I uppgiften var a/b ännu enklare: det var bara talet 1.

Nämnaren c/d motsvarades av $\frac{2*\cos \left(v\right)-2*\sin \left(v\right)}{\cos \left(v\right)}$.

Så resultatet i slutändan borde då bli 1 gånger den inverterade nämnaren, dvs.

$1*\frac{\cos \left(v\right)}{2*\cos \left(v\right)-2*\sin \left(v\right)}$

jag förstår fortfarande inte. 

har gjort såhär:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi vill ha samma nämnare \\ (1-\tan v) (1+\tan v)=1-{\tan }^{2}v \\ då har vi \\ \frac{1+\tan v+1-\tan v}{2(1-{\tan }^{2}v)+2(1-{\tan }^{2}v)} - +\tan v och -\tan v tar ut varandra, kvar blir 2 \\ tvåorna tar ut varandra i nämnaren och täljaren, kvar blir 1. \\ \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} \\ \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} \end{gathered}$$

Okej.

Då borde det gå att göra på detta viset:

$\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}}=\frac{1}{1*{\displaystyle \frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}-{\displaystyle \frac{{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}-{\displaystyle \frac{{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}}$

Betraktar man nämnaren för sig:

$\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}-\frac{{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}= \frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}$

Så uttrycket vi har är

$\frac{1}{\frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}$

Nu kommer vi till den här biten med dividera 1 med ett bråk. Vi tar nu till knepet att vi kan multiplicera hela uttrycket med 1 utan att förändra det.

$\frac{1}{\frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}*1$

Då kan man fråga sig vilka tal som blir 1 då man räknar ut dem. Ett sätt att få ett är att dividera ett tal med sig självt.

T.ex. talet ${\cos \left(v\right)}^2$.

$1=\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}$

Sätter vi in det ovan så får vi

$\frac{1}{\frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}*1=\frac{1}{\frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}}*\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}$

Två bråk gånger varandra blir täljare gånger täljare delat på nämnare gånger nämnare.

Täljare gånger täljare:

$1*{\cos \left(v\right)}^2={\cos \left(v\right)}^2$

Nämnare gånger nämnare:

$$\begin{gathered} \frac{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}*{\cos \left(v\right)}^2=\frac{\left({\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2\right)*{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2}= \\ \frac{\left({\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2\right)*\sout{{\cos \left(v\right)}^2}}{\sout{{\cos \left(v\right)}^2}}=\frac{\left({\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2\right)}{1}= \\ {\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2 \end{gathered}$$

Täljare delat på nämnare:

$\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}$

okej, men det måste vara fel i svaret för det blir ju inte samma svar som HL?

Tja, det är det som uppgiften går ut på: att fortsätta räkna om med termerna tills att man får fram högerledet.

Edit: Säger jag, trots att jag ser att vänsterledet inte kommer att bli högerledet. Hm...

ja jag har försökt att räkna som du har gjort, var i två räknestugor plus en chatt igår och vi fick inte fram VL=HL... konstigt då jag antar att nästan alla sådana uppgifter ska bli samma..?

Jag prövade precis att slå original-vänsterledet och original-högerledet i mjukvara för matematiska uträkningar (Numerical Python) för ett specifikt värde på v, i mitt fall 10.

Jag fick olika svar.

Om jag däremot antog att det stod fel i högerledet och de menade att täljaren där skulle vara cosinus i kvadrat och ej sinus i kvadrat så fick jag samma svar.

Om vi sedan väljer att titta på en lättuträknad vinkel, t.ex. v=0 grader, så blir tan(v) =0, sin(v)^2 = 0, cos(2*v) = 1, vilket ger VL= 1/2+1/2=1 och HL= 0/1=0, vilket ju även det skiljer sig åt.

Det måste vara fel i uppgiften.

okej, tack ska ta detta med min lärare.

jag inser nu att jag har missat att skriva ut -1 i uppgiften.

Den ska se ut såhär: 

$\frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)}$

Så det var en extra -1 i vänsterledet?

I så fall borde vänsterledet kunna förenklas ändå, fast istället för att i slutändan nå

$\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}$

borde vi nå

$\frac{{\cos \left(v\right)}^2}{{\cos \left(v\right)}^2-{\sin \left(v\right)}^2}-1$

Kan du förenkla det, t.ex. genom att få de två termerna på en gemensam nämnare?

om jag förlänger -1 med nämnaren så att det blir gemensam nämnare?

alltså:

 $$\begin{gathered} \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-1 \\ \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-\frac{1*{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{1*{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v} \\ \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-\frac{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}=\frac{{\cos }^{2}v-{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v-{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}=\frac{-{\sin }^{2}v}{-2\sin v^{2}v} \end{gathered}$$

känns som jag gör något tokigt??

men svaret blir = 1/2 så något galet har hänt

Det du har kommit fram till är ju 1/2 (utom när v = 0 så det får man kolla separat).

Joh_Sara skrev:

om jag förlänger -1 med nämnaren så att det blir gemensam nämnare?

alltså:

 $$\begin{gathered} \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-1 \\ \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-\frac{1*{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{1*{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v} \\ \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}-\frac{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}=\frac{{\cos }^{2}v-{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v-{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}=\frac{-{\sin }^{2}v}{-2\sin v^{2}v} \end{gathered}$$

känns som jag gör något tokigt??

Ja, du gör två räknefel, båda vid det näst sista =-tecknet:

För det första: om man har två bråk med gemensam nämnare så får man ut differensen genom att subtrahera täljarna med varandra och låta nämnarna vara oförändrade. Om vi till exempel har 2 fjärdedels pizza och tar bort 1 fjärdedels pizza har vi kvar en fjärdedels pizza.

$$\begin{gathered} \frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4} \\ \frac{2}{4}-\frac{1}{4}\ne \frac{2-1}{4-4} \end{gathered}$$

För det andra står det en implicit parentes runt täljaren i den andra termen, vilket gör att då vi har ett minustecken framför uttrycket som helhet måste vi invertera alla minustecken innanför parentesen.

hmm... men då blir det i täljaren

 $$\begin{gathered} {\sin }^{2}v \\ och i nämnaren: blir den som den är? {\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v \\ så vi har \\ \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v} \end{gathered}$$

Just det.

Jämför detta med högerledet.

jag ska räkna från början så att jag hänger med på alla delar:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi vill ha gemensamm nämnare: \\ (1-\tan v)(1+\tan v)=(1-{\tan }^{2}v) \\ \frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)} ( multiplicera nämnaren med täljaren) \\ \frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)} ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck) \\ \frac{1-{\tan }^{2}v+1-{\tan }^{2}v}{2(1-{\tan }^{2}v)}=\frac{2}{2(1-\mathrm{ta}{n}^{2}v)} (stryker tvåorna) = \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} \\ (\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}) ger \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{\mathrm{co}{s}^{2}v}}} (förläng med {\cos }^{2}v) \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} \\ Nu har vi \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v}-\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \end{gathered}$$

Hur gick vi vidare härifrån?

tror jag kom på det:

$$\begin{gathered} vi har : \\ \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}-1 \end{gathered}$$

men hur blir det med -1? för förra gången multiplicera vi den med nämnaren så att vi kunde ställa det på samma bråckstreck. 

Joh_Sara skrev:

jag ska räkna från början så att jag hänger med på alla delar:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi vill ha gemensamm nämnare: \\ (1-\tan v)(1+\tan v)=(1-{\tan }^{2}v) \\ \frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)} ( multiplicera nämnaren med täljaren) \\ \frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)} ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck) \\ \frac{1-{\tan }^{2}v+1-{\tan }^{2}v}{2(1-{\tan }^{2}v)}=\frac{2}{2(1-\mathrm{ta}{n}^{2}v)} (stryker tvåorna) = \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} \\ (\tan v=\frac{\sin v}{\cos v}) ger \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{\mathrm{co}{s}^{2}v}}} (förläng med {\cos }^{2}v) \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} \\ Nu har vi \frac{1}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v}{{\cos }^{2}v}-\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \end{gathered}$$

Du gör ett fel i början som du sedan tycks ignorera:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi vill ha gemensamm nämnare: \\ (1-\tan v)(1+\tan v)=(1-{\tan }^{2}v) \\ \frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)} \\ \frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)} ( nu kan vi ställa allt på samma bråkstreck) \end{gathered}$$

Du vill ställa de två bråken på gemensam nämnare, och därför förlänga så att de får gemensam nämnare.

Du tittade efter vilka faktorer som var unika och gemensamma för de två nämnarna och valda att förlänga så att allt unikt skulle ingå.

Du insåg att (1+tan(x))*(1-tan(x)) blir det snälla uttrycket 1-tan²(x) och därför gjorde du den uträkningen.

Bra så långt.

Hur bär man sig då åt för att få denna nämnare för de två bråken?

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}=\frac{1}{2(1-\tan v)}*1=\frac{1}{2(1-\tan v)}*\frac{(1+\tan v)}{(1+\tan v)}= \\ \frac{(1+\tan v)}{2(1-\tan v)(1+\tan v)}=\frac{(1+\tan v)}{2(1-{\tan }^{2}v)} \end{gathered}$$

respektive

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1+\tan v)}=\frac{1}{2(1+\tan v)}*1=\frac{1}{2(1+\tan v)}*\frac{(1-\tan v)}{(1-\tan v)}= \\ \frac{(1-\tan v)}{2(1+\tan v)(1-\tan v)}=\frac{(1-\tan v)}{2(1-{\tan }^{2}v)} \end{gathered}$$

Av någon anledning kom du vid något tillfälle fram till att uttrycket skulle vara

$\frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1(1-{\tan }^{2}v)}{2(1-{\tan }^{2}v)}$

vilket ju man skulle kunna förenkla till

$\frac{1\sout{(1-{\tan }^{2}v)}}{2\sout{(1-{\tan }^{2}v)}}+\frac{1\sout{(1-{\tan }^{2}v)}}{2\sout{(1-{\tan }^{2}v)}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

jag fattar inte längre den här uppgiften. Jag ger upp

jag fattar inte blir det 1nu?

och inte $\frac{1}{1-{\tan }^{2}v}$??

känner att jag förstår mindre och mindre ju mer jag håller på.

Det blev inte 1, nej.

Det var just det som var min poäng. Av någon anledning kom du efter ett tag i dina uträkningar fram till att vänsterledet blev en summa som blev garanterat 1 oavsett vilken vinkel det var frågan om. Detta stämmer inte, och det var det jag ville visa.

Det stämmer att 

$\frac{1}{2\left(1-\tan \left(v\right)\right)}+\frac{1}{2\left(1+\tan \left(v\right)\right)}$

blir 

$\frac{1}{1-{\tan \left(v\right)}^2}$

om man räknar på det, men stegen dit skrev du fel på.

var det fel på alla steg?

Vi kan väl kolla:

$\frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)}$

Inga fel här

$vi vill ha gemensamm nämnare:$

Vettigt tankesätt

$(1-\tan v)(1+\tan v)=(1-{\tan }^{2}v)$

Uträkningen ovan stämmer

$\frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1}{2(1-{\tan }^{2}v)}$

Och här har det hunnit bli fel. Det ena bråket har multiplicerats med $\frac{1}{1+\tan \left(v\right)}$, det andra med $\frac{1}{1-\tan \left(v\right)}$.

Man kan inte multiplicera termer med tal helt godtyckligt om likheten skall bestå. Om man ska bevisa att 1+2=3 kan man inte multiplicera 1 med 0 och 2 med 10 och sedan säga att nu har vi uttrycket 0+20=3.

Det man kan göra är matematiska operationer som inte förändrar uttrycken värdemässigt men som gör att de blir mer lätthanterliga.

I det här fallet vill du få de två bråken mer lätthanterliga genom att ge de en gemensam nämnare. Ett vettigt tillvägagångssätt. Men om vi nu inte kan multiplicera med $\frac{1}{1+\tan \left(v\right)}$och $\frac{1}{1-\tan \left(v\right)}$,vad kan vi då göra som inte förändrar värdet?

Jo: vi kan multiplicera med $\frac{1+\tan \left(v\right)}{1+\tan \left(v\right)}$och $\frac{1-\tan \left(v\right)}{1-\tan \left(v\right)}$. Dessa har båda värdet 1, så att multiplicera med dessa förändrar inte värdet. Låt oss göra detta:

$\frac{1}{2(1-\tan v)}*\frac{1+\tan \left(v\right)}{1+\tan \left(v\right)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}*\frac{1-\tan \left(v\right)}{1-\tan \left(v\right)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)}$

Då kan vi göra följande:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}*\frac{1+\tan \left(v\right)}{1+\tan \left(v\right)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}*\frac{1-\tan \left(v\right)}{1-\tan \left(v\right)}-1= \\ \frac{1*\left(1+\tan \left(v\right)\right)}{2(1-\tan v)\left(1+\tan \left(v\right)\right)}+\frac{1*\left(1-\tan \left(v\right)\right)}{2(1+\tan v)\left(1-\tan \left(v\right)\right)}-1= \\ \frac{1+\tan \left(v\right)}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}+\frac{1-\tan \left(v\right)}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}-1 \end{gathered}$$

Nu då vi fått gemensam nämnare kan vi ställa de två bråken på gemensamt bråkstreck

$$\begin{gathered} \frac{1+\tan \left(v\right)}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}+\frac{1-\tan \left(v\right)}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}-1= \\ \frac{1+\tan \left(v\right)+1-\tan \left(v\right)}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}-1= \\ \frac{2}{2\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}-1= \\ \frac{1}{\left(1-{\tan \left(v\right)}^2\right)}-1 \end{gathered}$$

Detta var uttrycket du fick så småningom(mer eller mindre; i den här genomgången valde jag att låta -1 vara med från första början):

$\frac{2}{2(1-\mathrm{ta}{n}^{2}v)} (stryker tvåorna) = \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}$

Men där emellan hade du uttryck som inte beskrev vänsterledet.

okej jag hänger med på detta led. Men hur blev det sedan med -1? för vi ska förlänga med nämnaren? 

för av det vi har nu är $$\begin{gathered} \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}-1 \\ och det kan vi skriva \\ \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}-1 \end{gathered}$$

Du kan skriva om -1 så att den får samma nämnare som den första termen. Det är ett vettigt tillvägagångssätt.

okej ¨h tycker det här är svårt men jag har försökt såhär:

$$\begin{gathered} \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}-1 \\ förlänger bråket -\frac{1}{1} med \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} får= \frac{1}{1.{\tan }^{2}v}-\frac{1-{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \\ skriver på samma bråkstreck \frac{1-1-{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \\ ({\tan }^{2}v=\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}) \\ \frac{1-1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} (1-1 i täljaren tar ut varandra =0) \\ \frac{-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle \frac{1-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2v}}}} (förlänger 1 i nämnaren med {\cos }^{2}v) \\ \frac{-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} ( nu kan vi förenkla genom att stryka nämnaren {\cos }^{2}v) \\ -\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}=-\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ varför får jag det negativt? \end{gathered}$$

Du gör en liten miss. En liten. Annars var det helt rätt. Bra jobbat!

Då du skriver

$$\begin{gathered} förlänger bråket -\frac{1}{1} med \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} får= \frac{1}{1.{\tan }^{2}v}-\frac{1-{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \\ skriver på samma bråkstreck \frac{1-1-{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \end{gathered}$$

missar du att det står en implicit parentes runt täljaren i det andra bråket. Och då man subtraherar en parentes så byter man ju tecken. Så här borde det alltså vara:

$$\begin{gathered} förlänger bråket -\frac{1}{1} med \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} får= \frac{1}{1.{\tan }^{2}v}-\frac{\left(1-{\tan }^{2}v\right)}{1-{\tan }^{2}v} \\ skriver på samma bråkstreck \frac{1-\left(1-{\tan }^{2}v\right)}{1-{\tan }^{2}v}=\frac{1-1+{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v}=\frac{{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \end{gathered}$$

I övrigt... så ser jag nu att du gjorde en annan liten miss, men jag tror den är att du har räknat och tänkt rätt, bara att det blev lite fel då du skulle skriva in uttrycket:

$\bcancel{\frac{-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle \frac{1-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2v}}}}} \frac{-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle 1-\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} (förlänger 1 i nämnaren med {\cos }^{2}v)$

åh okej nu räknar jag allt från första början. Tror ändå att jag greppar det här nu :)

$$\begin{gathered} \frac{1}{2(1-\tan v)}+\frac{1}{2(1+\tan v)}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi börjar med att ta fram gemensamma nämnaren genom att multiplicera med (1-\tan v) respektive (1+\tan v) \\ \frac{1*(1+\tan v)}{2(1-\tan v)*(1+\tan v)}+\frac{1*(1-\tan v)}{2(1+\tan v)*(1-\tan v)} \\ vi får \frac{1+\tan v}{2(1-{\tan }^{2}v)}+\frac{1-\tan v}{1(1-{\tan }^{2}v)} vi har samma nämnaren och kan skriva det på samma bråkstreck \\ \frac{1+\tan v+1-\tan v}{2(1-{\tan }^{2}v)}=\frac{2}{2(1-{\tan }^{2}v)} (vi kan förkorta bort 2:orna) \\ \frac{1}{1-{\tan }^{2}v} \\ vi har nu uttrycket \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}-1=\frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \\ vi ska nu mu förlänga -1 med 1-{\tan }^{2}v \\ \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}-\frac{1*(1-{\tan }^{2}v)}{1*1-{\tan }^{2}v}= \frac{1}{1-{\tan }^{2}v}-\frac{(1-{\tan }^{2}v)}{1-{\tan }^{2}v} Vi kan nu skriva det på samma bräkstreck \\ \frac{1-(1-{\tan }^{2}v)}{1-{\tan }^{2}v}= \frac{1-1+{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v}=\frac{{\tan }^{2}v}{1-{\tan }^{2}v} \\ (vi vet att {\tan }^{2}v=\frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}) \\ uttryckket blir därför = \frac{{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{1-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} Här ska vi nu förlänga 1 med {\cos }^{2}v \\ \frac{{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle \frac{1*{\cos }^{2}v}{1*{\cos }^{2}v}}-{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} vi har nu gemensam näämnare och kan skriva på samma bråkstreck: \\ \frac{{\displaystyle \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}}{{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v}}} vi kan nu förkorta bort {\cos }^{2}v i respektive nämnare och får: \\ \frac{{\sin }^{2}v}{{\cos }^{2}v-{\sin }^{2}v} vilket i \sin tur blir lika med \frac{{\sin }^{2}v}{\cos \left(2v\right)} \end{gathered}$$

Är jag äntligen färdig??? :D

Ja.

Hoppas de här inläggen har varit givande.

Edit: Kom på att du antagligen skall lägga till "VSV" eller "Vilket skulle visas" efter hela uträkningen, för att indikera att detta vänsterled som du nu räknat med en hel del faktiskt är lika med det efterfrågade högerledet.

tack så mycket för all hjälp och ditt tålamod! äntligen :)