Visa att följande matrisen ör ortogonal

Hej, 

kan någon hjälpa mig lösa del b

Uppgifter: 

Låt N vara en 3x1 matris sådan att $N^T$$N$= 1

a) Visa att 3x3 matrisen $Q = I-2N{N}^T$är symmetrisk. (den har jag visat) 

b) Visa att Q är ortogonal. 

 

Mitt försök: 

Om Q är ortogonal, så ska $Q^T=Q^{-1}$ dvs $Q{Q}^T= Q^{T}Q=I$

Ett annat sätt att visa att Q är ortogonal är att ta skalärprodukten av kolonnerna med sig själva och alla produkter ska ge 1 och ta skalärprodukten av varje par kolonner och det ska ge 0 eftersom de är ortogonala. 

Men.. matrisen jag har funnit, är

$Q = \left(\begin{array}{ccc}1-2a^2& -2ab& -2ac\\ -2ab& 1-2b^2& -2bc\\ -2ac& -2bc& 1-2c^2\end{array}\right)$

Detta fann jag genom att anta att $N = \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ vilket från del a leder till Q ovan. 

I uppgiften står det också att $N^{T}N = 1$dvs $a^2+b^2+c^2 = 1$

Jag försökte ta skalärprodukten av första kolonnen med sig självt, om jag kan visa att den är lika med 1 så kan jag göra motsvarande för andra kolonnerna, men det jag kom fram till är följandet: 

 

 

$$\begin{gathered} {(1-2a^2)}^2 + 4a^2{b}^2+4a^2{c}^2 \Rightarrow 1-4a^2+a^4+4a^2{b}^2+4a^2{c}^2 \\ \Rightarrow 1+a^2(-4 + a^2+4b^2+4c^2)\Rightarrow 1+ a^2[a^2+4(b^2+c^2-1\left)\right] \end{gathered}$$

Och eftersom $a^2+b^2+c^2=1$ så kan vi skriva uttrycket ovan med endast a.

$b^2+c^2=1-a^2$ det finns ju en $b^2+c^2$ i den inre parentesen, alltså vi får

 $1 + a^2[a^2+4(1-a^2-1\left)\right] \Rightarrow 1-3a^4$

Om detta ska lika 1 så ska a = 0. 

Jag försökte sedan att visa det med att utföra multiplikationen $Q{Q}^T=I$ men samma problem där, jag får fortfarande samma uttryck eftersom Q är symmetrisk. 

Är jag på rätt spår eller är jag ute och cyklar? Jag läser detta i matematik specialisering och bevis metoder som induktion har jag inte lärt mig än, ifall det är de man ska utgå ifrån. 

En grej till, jag skulle kunna testa finna determinanten och om dess värde är $\pm 1$ så har jag visat att Q är ortogonal, men detta är ifrån kap 8 och determinanter introduceras kap 9. 

Tack för er tid!