Visa att formel är delbar med 3

Har du skrivit upp delarna i induktionen? Hur ser induktionssteget ut?

Ja, det har jag. Jag visste inte hur man skulle skriva det, men man ska skriva 2^(2n)-1 = 3m tydligen då för att visa delbarhet med 3. Var inte i närheten av att tänka i den banan ens.

Steg 3 är då att addera p+1 som vanligt, och då ska ju det talet också vara delbart med 3..

Såhär gjorde jag nu

Ser bra ut. En sak är att $(2^2)^{p+1}-1 = (2^2)^p 2^{\color{red}2}-1$.

Tänk på att målet alltid är att få fram det förra fallet så att vi kan utnyttja induktionsantagandet. Nu har vi nästan det förra fallet, vad saknas?

Jag vet inte, en subtraktion menar du?

Det jag tänkte är att

$2^{2p}\cdot 4 - 1 = 3\cdot 2^{2p} + \underbrace{2^{2p}-1}_{\text{förra fallet}}$

AlexMu skrev:

Det jag tänkte är att

$2^{2p}\cdot 4 - 1 = 3\cdot 2^{2p} + \underbrace{2^{2p}-1}_{\text{förra fallet}}$

Okej.. har man visat delbarheten nu då i och med att det blir 3(4(^p)) båda sidor? Det har man väl gjort tror jag.

Tack.

Eller nej, jag fattar inte. Hur kan 2^(2p) × 4 -1 bli 3×2^(2p)? Vart kommer trean ifrån? Och vart är 1? 

Är du med på likheten i inlägg #6?

Laguna skrev:

Är du med på likheten i inlägg #6?

Jag tror det. Jag tror tanken är att man har resultatet för (p+1), och resultatet för p. Då kan man se att enda sättet man kan komma till p+1 ifrån p är att addera 3*2^2p. Och därför vet man att det går att dividera med 3. Kanske.

Om så inte är fallet är jag inte med 

Jag menade till att börja med likheten utan något sammanhang, bara den likheten.

Då är svaret ja.

Det står 2^2p multiplicerat med 4, med andra ord adderat 4 gånger, sedan -1, är samma sak som 2^2p adderat 3 gånger om, och sedan en gång till, och slutligen -1.

3*2^2p är delbart med 3.

Resten i högerledet är det vi visste tidigare var delbart med 3.

Jo, men hur visste vi det? Gjorde man inte bara ett antagande om att det kanske kan vara så att (2^(2p)) - 1 = 3m, men vi vet inte helt säkert.

Och vart kommer 3×2^(2p) ifrån? Är det för att vi ser att det är det som saknas för att det ska gå ihop och därför lägger vi till det.

Här är facits svar:

Är det en korrekt tolkning att man bara antar i steg två att OM det är så att det är delbart med 3, så kommer det vara så att k+1 också är delbart med 3. Sen följer detta sedan av att basfallet är sant? Och det är vad det hela bygger på egentligen. Därför kan man bara slänga ur sig vilket antagande som helst och testa om det funkar..typ.

Nu ska jag sluta störa. Tack 

Ja, det är iden bakom induktionsprincipen. Vi vill visa att fall $p+1$ stämmer OM fall $p$ stämmer. Omskrivningen $4\cdot 2^{2p} -1= 3 \cdot 2^{2p} + \color{red}2^{2p}-1$ är för att då dyker det förra fallet upp. Antagelsen ger $2^{2p}-1 = 3m$ och då får vi 

$4\cdot 2^{2p} -1= 3 \cdot 2^{2p} + 3m = 3(2^{2p} + m) = 3(\text{heltal})$, dvs fall $p+1$ är delbar med $3$ om fall $p$ är det.

Dkcre skrev:

 

Nu ska jag sluta störa. Tack 

Du stör inte. Det här är ditt forum.