8 svar
50 visningar
Fibonacci är nöjd med hjälpen!
Fibonacci 237
Postad: 18 okt 2020

Visa att given funktion är en kumulativ fördelningsfunktion

Jag har problem att utifrån detta teorem

avgöra utifrån denna uppgift

huruvida den angivna funktionen är en cdf.

Såhär långt har jag kommit:

1:limx-(1-x-α) =1-(-)-α och limx(1-x-α)=1

2: Ritar man upp grafen för funktionen, går det att se att den är ej avtagande för α>0

3: Här förstår jag inte riktigt hur jag ska gå tillväga. Ska jag bara ta någon godtycklig punkt för x > 1 och sen...?

Utmärkt början! Du kan visa att F(x) är en icke-avtagande funktion genom att derivera och visa att derivatan aldrig är negativ.

Kontinuitet från höger kan i detta fall visas genom att F(x) består av elementära funktioner, som är kontinuerliga i varje punkt. :)

Micimacko 1888
Postad: 18 okt 2020

a) Din funktion börjar i x=1, så det är underförstått att den är 0 innan dess, ända från -oo.

b) Den är ganska lätt att derivera, och det ser mkt bättre ut.

c) Din funktion är angiven på 2 intervall, 0 om x<=1, och 1-x.. om x>1. Det är känt att kombinationer av elementära funktioner (polynom, ln, e, trigg) är kontinuerliga, så den enda punkt som är tveksam här är x=1,det räcker att undersöka den nu när vi konstaterat kontinuitet på resten av R.

Fibonacci 237
Postad: 18 okt 2020

Tack för era svar, nu förstår jag!

Om jag deriverar i 2), ger jag inte då svaret till b-uppgiften då också?

Micimacko 1888
Postad: 18 okt 2020

Jo

Albiki 4804
Postad: 18 okt 2020 Redigerad: 18 okt 2020

Hej,

Det gäller att

    F(x)=1-x-a ,  x>10 ,  x1F(x) = \left\{1-x^{-a}\ , \quad x>1\\0 \ , \quad x\leq 1\right.

  • Om x<0x < 0  så är F(x)=0F(x) = 0 varför limx-F(x)=0.\lim_{x\to-\infty}F(x) = 0.
  • Om x>1x>1 så är limxF(x)=1-limxx-a=1-0\lim_{x\to\infty}F(x) = 1-\lim_{x\to\infty}x^{-a} = 1-0 eftersom a>0.a>0.

Eftersom a>0a>0 så är funktionen uu-au\mapsto u^{-a} avtagande för u>1u>1 vilket ger att funktionen u1-u-au\mapsto 1-u^{-a} är växande för u>1u>1.

  • Om x01x_0\leq 1 så är F(x0)=0F(x_0) = 0 och om xx avtar mot x0x_0 så kommer xx så småningom också att uppfylla x1x\leq 1 och därför är limxx0F(x0)=0.\lim_{x\downarrow x_0}F(x_0) = 0.
  • Om x0>1x_0>1 så är F(x0)=1-x0-aF(x_0) = 1-x_0^{-a} och om xx avtar mot x0x_0 så kommer xx hela tiden att uppfylla x>1x>1 och på grund av att funktionen u1-u-au\mapsto 1-u^{-a} är kontinuerlig i punkten x0x_0 så gäller det att limxx0F(x)=F(x0).\lim_{x\downarrow x_0}F(x) = F(x_0).
Albiki 4804
Postad: 18 okt 2020

FY(y)=P(Yy)=P(logXy)=P(Xey)=FX(ey).F_Y(y)=P(Y\leq y) = P(\text{log} X \leq y) = P(X\leq e^y) = F_X(e^{y}).

Förutsatt att XX är en kontinuerlig slumpvariabel ger derivering täthetsfunktionen

    fY(y)=fX(ey)·ey.f_Y(y) = f_X(e^y) \cdot e^y.

Fibonacci 237
Postad: 18 okt 2020

Tack Albiki, mycket bra!

Löste själv c-uppgiften på samma sätt, skönt att kunna verifiera mitt svar.

Terminologi
"Kumulativ fördelningsfunktion" låter för mig som tårta-på-tårta.
Eller har det med översättningen från engelska att göra?

Med exemplet i 6a) skulle jag säga:

X är Pareto-fördelad
X har fördelningsfunktionen  F(x) = ...
X har täthetsfunktionen  f(x) = ...

Finns det andra uttryckssätt?

Svara Avbryt
Close