10 svar
153 visningar
Arminhashmati är nöjd med hjälpen
Arminhashmati 381
Postad: 22 okt 2022 19:34 Redigerad: 22 okt 2022 20:05

Visa att induktionsbevis - har jag gjort rätt?

Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift: Visa med hjälp av induktion att 

1+4+9+16+...+n2 < n3 för alla n2

Så här har jag tänkt:

Först gör man ett basfall där n=2, då fick jag att 4<8 vilket stämmer

 

Sedan gjorde jag ett induktionsantagande där jag antog att det gäller för ett generellt tal n=p

p2 < p3 p2-p3< 0

Sedan ville jag undersöka om detta gäller för nästa tal, n=p+1

då ställde jag upp:

p2 + (p+1)2 < p3 (p+1)3 

p2 + p2 + 2p + 1 < p3 + p3 + 3p2 + 3p + 1

2p2  < 2p3 + 3p2 + p

2p2 - 2p3 < 3p2 + p 

2(p2 - p3) < 3p2 + p

eftersom p2 - p3 < 0 enligt induktionsantagandet kommer 2(p2 - p3) vara ett heltal, k där k < 0. 

det betyder att k < 3p2 + p och villkoret att n 2 gör att olikheten stämmer, har jag nu gjort ett fullständigt bevis eller har jag råkat missa eller hoppa över något? Mitt facit gör en jätte-otydlig förklaring so det är därför jag frågar er. Tacksam för svar! :)

Laguna Online 29114
Postad: 22 okt 2022 21:01

Det är inte p2<p3 du ska bevisa. Vänsterledet är en summa av n termer. Basfallet är 1+4 < 5.

Längre ner adderar du p3 och (p+1)3 och det förstår jag inte.

Arminhashmati 381
Postad: 22 okt 2022 21:14

När jag använde p2<p3 så var det ju från induktionsantagandet och tänkte att jag kan använda det för att skriva om hela olikheten så att den blev enklare att lösa. 

Anledningen till att jag adderade (p+1)3 var för att jag tänkte att p3 också representerade en summa, och att talet därefter, p+1. borde vara upphöjt till tre, på samma sätt som p+1 var upphöjt till två i vänsterledet

1+8+27+...+p3+ (p+1)3

Men jag vet som sagt inte om det är rätt. 

Tomten 1722
Postad: 23 okt 2022 06:33

Hur många termer är det i VL uttryckt i n ?

◽️Vad händer om du ökar varje term till n ?

Laguna Online 29114
Postad: 23 okt 2022 13:10

p3 representerar inte en summa. p3 är talet p3.

Påståendet säger att

1+4 < 8
1+4+9 < 27
1+4+9+16 < 64

osv.

Arminhashmati 381
Postad: 23 okt 2022 14:18 Redigerad: 23 okt 2022 14:18

ska jag då bara låta p3 vara p3 vid induktionssteget eller borde det vara (p+1)3

Laguna Online 29114
Postad: 23 okt 2022 14:34

Du har att 1+4+9+...+n2 < n3 och vill bevisa att 1+4+9+...+n2+(n+1)2 < (n+1)3.

Arminhashmati 381
Postad: 23 okt 2022 16:16

p2 +(p+1)2 < (p+1)3

p2+ p2 + 2p + 1 < p3 + 3p2 + 3p + 1

Jag skriver om olikheten till 

0<p3 + p2 + p + 1, eftersom n 2   så stämmer olikheten eftersom HL alltid kommer vara positivt => QED?

Laguna Online 29114
Postad: 23 okt 2022 16:23

Inte riktigt. Kalla differensen 1+4+9+...+n2-n3 för dn. Vi vet att att dn < 0. Använd den i den andra olikheten.

Arminhashmati 381
Postad: 23 okt 2022 16:30

p2 + p2 + 2p + 1 < p3 + 3p2 + 3p + 1

p- p3p2 + 2p + 1 < 3p2 + 3p + 1

dn + p2 + 2p + 1 < 3p2 + 3p + 1

dn < 2p2 + p 

eftersom dn är < 0 och n 2 så medför detta att olikheten stämmer eftersom HL aldrig blir negativt => QED?

Laguna Online 29114
Postad: 24 okt 2022 11:02

Nej, du ska bevisa att dn+1 < 0.

Svara Avbryt
Close