Visa att induktionsbevis - har jag gjort rätt?

Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift: Visa med hjälp av induktion att

1+4+9+16+...+n² < n³ för alla n $\geq 2$

Så här har jag tänkt:

Först gör man ett basfall där n=2, då fick jag att 4<8 vilket stämmer

Sedan gjorde jag ett induktionsantagande där jag antog att det gäller för ett generellt tal n=p

p² < p³ $\to$ p²-p³< 0

Sedan ville jag undersöka om detta gäller för nästa tal, n=p+1

då ställde jag upp:

p² + (p+1)² < p³ (p+1)³

p² + p² + 2p + 1 < p³ + p³ + 3p² + 3p + 1

2p² < 2p³ + 3p² + p

2p² - 2p³ < 3p² + p

2(p² - p³) < 3p² + p

eftersom p² - p³ < 0 enligt induktionsantagandet kommer 2(p² - p³) vara ett heltal, k där k < 0.

det betyder att k < 3p² + p och villkoret att n $\geq$ 2 gör att olikheten stämmer, har jag nu gjort ett fullständigt bevis eller har jag råkat missa eller hoppa över något? Mitt facit gör en jätte-otydlig förklaring so det är därför jag frågar er. Tacksam för svar! :)

Det är inte p²<p³ du ska bevisa. Vänsterledet är en summa av n termer. Basfallet är 1+4 < 5.

Längre ner adderar du p³ och (p+1)³ och det förstår jag inte.

När jag använde p²<p³ så var det ju från induktionsantagandet och tänkte att jag kan använda det för att skriva om hela olikheten så att den blev enklare att lösa.

Anledningen till att jag adderade (p+1)³ var för att jag tänkte att p³ också representerade en summa, och att talet därefter, p+1. borde vara upphöjt till tre, på samma sätt som p+1 var upphöjt till två i vänsterledet

1+8+27+...+p³+ (p+1)³

Men jag vet som sagt inte om det är rätt.

Hur många termer är det i VL uttryckt i n ?

◽️Vad händer om du ökar varje term till n² ?

p³ representerar inte en summa. p³ är talet p³.

Påståendet säger att

1+4 < 8
1+4+9 < 27
1+4+9+16 < 64

osv.

ska jag då bara låta p³ vara p³ vid induktionssteget eller borde det vara (p+1)³

Du har att 1+4+9+...+n² < n³ och vill bevisa att 1+4+9+...+n²+(n+1)² < (n+1)³.

p² +(p+1)² < (p+1)³

p²+ p² + 2p + 1 < p³ + 3p² + 3p + 1

Jag skriver om olikheten till

0<p³ + p² + p + 1, eftersom n $\geq$ 2 så stämmer olikheten eftersom HL alltid kommer vara positivt => QED?

Inte riktigt. Kalla differensen 1+4+9+...+n²-n³ för d_n. Vi vet att att d_n < 0. Använd den i den andra olikheten.

p² + p² + 2p + 1 < p³ + 3p² + 3p + 1

p²- p³ + p² + 2p + 1 < 3p² + 3p + 1

d_n + p² + 2p + 1 < 3p² + 3p + 1

d_n < 2p² + p

eftersom d_n är < 0 och n $\geq$ 2 så medför detta att olikheten stämmer eftersom HL aldrig blir negativt => QED?

Nej, du ska bevisa att d_n+1 < 0.

Svara Avbryt

Visa senaste svar