Visa att intergral är mindre än värde

Hej,

jag ska visa att $\int_{0}^{3} (1 + e^{- x^{2}}) d x \leq 6$

Läste i ledningen att jag ska utnyttja att $1 + e^{- x^{2}} \leq 1 + 1$

Tänkte då att $\int_{0}^{3} (1 + e^{- x^{2}}) d x \leq \int_{0}^{3} 2 d x = [2 x] = 2 * 3 - 2 * 0 = 6$

Men varför kan jag utnyttja det som ledningen gav? Kan jag alltid använda ett värde som jag vet att funktionen är mindre än, och integrera detta, för att bevisa påståendet?

Ja, i princip. Så länge du kan bevisa att integranden är mindre än funktionen du substituerar med (i hela intervallet) gäller det. Mer matematiskt beskrivet gället det att $f (x) \leq g (x) \Rightarrow \int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x$ . I detta fall är $g(x)=2$ . :)

Svara