Visa att kurvintegralen för alla slutna ytor som ligger parallellt med xy-planet

Jag hade börjat med att parameterisera (x,y,z) som funktion av t.

Trinity2 skrev:

Jag hade börjat med att parameterisera (x,y,z) som funktion av t.

Ja det gjorde jag. x=t, y=t, z=t

destiny99 skrev:

Trinity2 skrev:

Jag hade börjat med att parameterisera (x,y,z) som funktion av t.

Ja det gjorde jag. x=t, y=t, z=t

Lite för enkelt. Tillskriv en godtycklig kurva i planet som är parallellt med xy-planet. Vad gäller dessutom för z för sådana kurvor?

Trinity2 skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Trinity2 skrev:

Jag hade börjat med att parameterisera (x,y,z) som funktion av t.

Ja det gjorde jag. x=t, y=t, z=t

Lite för enkelt. Tillskriv en godtycklig kurva i planet som är parallellt med xy-planet. Vad gäller dessutom för z för sådana kurvor?

Det var den delen av uppgiften jag körde fast på Alltså en kurva som ska vara parallell med xy-planet. Jag tolkar dock som att den där kurvan ska ligga i xy-planet och z=0 ?

Ett plan parallellt med xy-planet har ekvationen z=k, där k är någon reell konstant.

En kurva 'gamma' i detta plan ges av parameteriseringen

(x,y,z) = (a(t), b(t), k)

där a(t) och b(t) är några godtyckliga (reella) funktioner.

Om t0 ≤ t ≤ t1 har vi, på grund av slutenheten att a(t0)=a(t1) och b(t0)=b(t1).

Med ovan given parameterisering, försök skriva om integralen så att den är "formulerad" med "dt".

Stokes sats säger att

$\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$

Ett plan parallellt med $xy$-planet har ytelementet $d\mathbf{S}=\hat{z}dxdy$, men vad blir $\nabla \times \mathbf{F}$?

D4NIEL skrev:

Stokes sats säger att

$\int_\gamma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$

Ett plan parallellt med $xy$-planet har ytelementet $d\mathbf{S}=\hat{z}dxdy$, men vad blir $\nabla \times \mathbf{F}$?

Vi har inte gått igenom stokes sats ännu. Om det är bättre att lösa den mha den metoden kanske man kan avvakta tills det går att lösas mha den.

Trinity2 skrev:

Ett plan parallellt med xy-planet har ekvationen z=k, där k är någon reell konstant.

En kurva 'gamma' i detta plan ges av parameteriseringen

(x,y,z) = (a(t), b(t), k)

där a(t) och b(t) är några godtyckliga (reella) funktioner.

Om t0 ≤ t ≤ t1 har vi, på grund av slutenheten att a(t0)=a(t1) och b(t0)=b(t1).

Med ovan given parameterisering, försök skriva om integralen så att den är "formulerad" med "dt".

Hur menar du skriva om med dt?

destiny99 skrev:

Trinity2 skrev:

Ett plan parallellt med xy-planet har ekvationen z=k, där k är någon reell konstant.

En kurva 'gamma' i detta plan ges av parameteriseringen

(x,y,z) = (a(t), b(t), k)

där a(t) och b(t) är några godtyckliga (reella) funktioner.

Om t0 ≤ t ≤ t1 har vi, på grund av slutenheten att a(t0)=a(t1) och b(t0)=b(t1).

Med ovan given parameterisering, försök skriva om integralen så att den är "formulerad" med "dt".

Hur menar du skriva om med dt?

T.ex.

INT x dx = INT x(t) x'(t) dt