25 svar
135 visningar
lamayo 2103
Postad: 2 aug 2019

Visa att mängden V är ett vektorrum

Låt V vara mängden av alla polynom av grad n som mest. Visa att V är ett vektorrum.

Har inte gjort den här typen av uppgifter förrut när man ska visa att en mängd är ett vektorrum. Har bara gjort sådana när man ska visa att det inte är det och då har jag bara använt motexempel. 

Men hur gör man nu? Jag vet att villkoren i definitionen måste vara uppfyllda men vet liksom inte var jag ska börja. Ska jag välja två vektorer till att börja med och se om de uppfyller eller?

skulle vara snällt om jag kunde få lite hjälp hur man ska börja🙏

Dr. G Online 4465
Postad: 2 aug 2019

Ta två vektorer, u och v, och två skalärer, a och b.

Visa att vektorn w = au + bv ligger i vektorrummet om u och v ligger i vektorrummet.

lamayo 2103
Postad: 2 aug 2019 Redigerad: 2 aug 2019
Dr. G skrev:

Ta två vektorer, u och v, och två skalärer, a och b.

Visa att vektorn w = au + bv ligger i vektorrummet om u och v ligger i vektorrummet.

Kan jag välja tex v=x^2, u=x, b=1, a=2. Isåfall w=2x+1*x^2=2x+x^2 och eftersom gradtalet är 2 ligger w i vektorrummet

Eller ska man inte sätta in några värden på dem?

Dr. G Online 4465
Postad: 2 aug 2019

Du ska ta två godtyckliga vektorer u och v som ligger i vektorrummet, d.v.s u är ett (godtyckligt) polynom av grad max n och v är ett annat. 

Påverkar multiplikation med skalär polynomets grad?

Kan graden bli > n när du summerar två polynom av grad ≤ n?

lamayo 2103
Postad: 2 aug 2019 Redigerad: 2 aug 2019
Dr. G skrev:

Du ska ta två godtyckliga vektorer u och v som ligger i vektorrummet, d.v.s u är ett (godtyckligt) polynom av grad max n och v är ett annat. 

Påverkar multiplikation med skalär polynomets grad?

Kan graden bli > n när du summerar två polynom av grad ≤ n?

Okej,

nej, men hur visar jag det? Vet inte om det är tänkt så som jag gjort på bilden?

Albiki 4130
Postad: 2 aug 2019
  • Du ska ta två polynom pp och qq, av grad som mest nn, och visa att p+qp+q är ett polynom av grad som mest nn.
  • Du ska ta ett polynom pp, av grad som mest nn, och ett tal α\alpha och visa att α·p\alpha \cdot p är ett polynom av grad som mest nn.
Albiki 4130
Postad: 2 aug 2019

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

lamayo 2103
Postad: 3 aug 2019
Albiki skrev:

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

Ser det här okej ut?

Laguna Online 5394
Postad: 3 aug 2019

Nej, (x0+x1)(a0+a1+b0+b1) är ju inte a0x0 + a1x1 + b0x0 + b1x1.

lamayo 2103
Postad: 3 aug 2019
Laguna skrev:

Nej, (x0+x1)(a0+a1+b0+b1) är ju inte a0x0 + a1x1 + b0x0 + b1x1.

Juste,

blir det såhär?

Laguna Online 5394
Postad: 3 aug 2019

Det var bättre. 

lamayo 2103
Postad: 3 aug 2019
Laguna skrev:

Det var bättre. 

Ska jag visa att de 8 axiomen uppfylls också?

Tex att u+v=v+u

lamayo 2103
Postad: 3 aug 2019

Känns inte som det är så mycket att visa med axiomen, eller har jag fel?

Här är ju axiomen

Såhär gjorde jag

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019

Spelar det egentligen någon roll att graden ska vara som mest nn? Om WW är mängden av alla polynom av grad exakt lika med nn, är WW ett vektorrum? Om svaret är Nej, varför inte?

lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019
Albiki skrev:

Spelar det egentligen någon roll att graden ska vara som mest nn? Om WW är mängden av alla polynom av grad exakt lika med nn, är WW ett vektorrum? Om svaret är Nej, varför inte?

Nej det är inte ett vektorrum om det är exakt lika med n eftersom vektorrummet inte är slutet under addition då. Om man adderar tex x+x^2 och -x^2 blir gradtalet 1 och inte 2.

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Spelar det egentligen någon roll att graden ska vara som mest nn? Om WW är mängden av alla polynom av grad exakt lika med nn, är WW ett vektorrum? Om svaret är Nej, varför inte?

Nej det är inte ett vektorrum om det är exakt lika med n eftersom vektorrummet inte är slutet under addition då. Om man adderar tex x+x^2 och -x^2 blir gradtalet 1 och inte 2.

Det är sant. Mängden är inte sluten under skalärmultiplikation heller eftersom om man multiplicerar x+x2x+x^2 med skalären 00 fås nollpolynomet, som inte är ett polynom av grad exakt lika med 22.

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019

Vad betyder det egentligen att vara ett polynom?

Är exempelvis (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x ett polynom?

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019 Redigerad: 4 aug 2019
Albiki skrev:

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

Notera följande räkneregler för polynomgrader:

    grad(p+q)=max(grad(p),grad(q))grad(p+q) =max(grad(p),grad(q))

och

    grad(α·p)=grad(p)grad(\alpha \cdot p) = grad(p) om talet α0\alpha \neq 0.

lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019
Albiki skrev:

Vad betyder det egentligen att vara ett polynom?

Är exempelvis (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x ett polynom?

Ja, det är ett polynom. 

Det består av konstanter, variabler, heltalsexpontenter (positiva) och kan kombineras med de fyra räknesätten förutom division.

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019 Redigerad: 4 aug 2019
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Vad betyder det egentligen att vara ett polynom?

Är exempelvis (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x ett polynom?

Ja, det är ett polynom. 

Det består av konstanter, variabler, heltalsexpontenter (positiva) och kan kombineras med de fyra räknesätten förutom division.

Nej, det är inte ett polynom. Att säga att något "är ett polynom" räcker inte som specifikation.

  • Uttrycket (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x är inte ett polynom med avseende på xx.
  • Uttrycket (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x är ett polynom med avseende på sinx\sin x.
lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019
Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:

Vad betyder det egentligen att vara ett polynom?

Är exempelvis (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x ett polynom?

Ja, det är ett polynom. 

Det består av konstanter, variabler, heltalsexpontenter (positiva) och kan kombineras med de fyra räknesätten förutom division.

Nej, det är inte ett polynom. Att säga att något "är ett polynom" räcker inte som specifikation.

  • Uttrycket (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x är inte ett polynom med avseende på xx.
  • Uttrycket (sinx)2+2sinx(\sin x)^2+2\sin x är ett polynom med avseende på sinx\sin x.

Aha!

lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019
Albiki skrev:
Albiki skrev:

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

Notera följande räkneregler för polynomgrader:

    grad(p+q)=max(grad(p),grad(q))grad(p+q) =max(grad(p),grad(q))

och

    grad(α·p)=grad(p)grad(\alpha \cdot p) = grad(p) om talet α0\alpha \neq 0.

Ska jag använda de för att visa att de 8 axiomen uppfylls?

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019
lamayo skrev:
Albiki skrev:
Albiki skrev:

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

Notera följande räkneregler för polynomgrader:

    grad(p+q)=max(grad(p),grad(q))grad(p+q) =max(grad(p),grad(q))

och

    grad(α·p)=grad(p)grad(\alpha \cdot p) = grad(p) om talet α0\alpha \neq 0.

Ska jag använda de för att visa att de 8 axiomen uppfylls?

Det kan du, men det primära syftet är att använda dem för att visa att V är sluten under polynomaddition och under skalärmultiplikation.

Albiki 4130
Postad: 4 aug 2019

Notera att varje element i VV kan representeras med en vektor av reella tal:

    p(x)=a0+a1x++anxn(a0,a1,,an)n+1.p(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \iff (a_0,a_1,\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}.

Vektorrummet VV har samma algebraiska struktur som vektorrummet n+1\mathbb{R}^{n+1}. Ovanstående specifikation är ett exempel på isomorfism mellan de två vektorrummen. 

lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019 Redigerad: 4 aug 2019
Albiki skrev:
lamayo skrev:
Albiki skrev:
Albiki skrev:

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n och grad(q)ngrad(q)\leq n så är p+qp+q ett polynom och grad(p+q)ngrad(p+q)\leq n.

Visa att om grad(p)ngrad(p)\leq n så är α·p\alpha \cdot p ett polynom och grad(α·p)ngrad(\alpha \cdot p)\leq n.

Notera följande räkneregler för polynomgrader:

    grad(p+q)=max(grad(p),grad(q))grad(p+q) =max(grad(p),grad(q))

och

    grad(α·p)=grad(p)grad(\alpha \cdot p) = grad(p) om talet α0\alpha \neq 0.

Ska jag använda de för att visa att de 8 axiomen uppfylls?

Det kan du, men det primära syftet är att använda dem för att visa att V är sluten under polynomaddition och under skalärmultiplikation.

Om vi väljer två godtyckliga polynom p och q i V av grad max n så kommer enligt den första räkneregeln grad(q+p) = eller mindre än n och enligt den andra räkneregeln grad(lamda*p)= eller mindre än n, lambda olikt 0. Alltså är V sluten under skalärmultiplikation och addition.

lamayo 2103
Postad: 4 aug 2019 Redigerad: 4 aug 2019
Albiki skrev:

Notera att varje element i VV kan representeras med en vektor av reella tal:

    p(x)=a0+a1x++anxn(a0,a1,,an)n+1.p(x) = a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \iff (a_0,a_1,\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n+1}.

Vektorrummet VV har samma algebraiska struktur som vektorrummet n+1\mathbb{R}^{n+1}. Ovanstående specifikation är ett exempel på isomorfism mellan de två vektorrummen. 

Vad innebär algebraisk struktur? Vad kan jag använda det till?

Svara Avbryt
Close