Visa att med absolutbelopp

Här är ett alternativ om man tycker det är jobbigt med alla alternativ.

Lemma 1. |x|² = x² för alla reella x. Bevis: Trivialt.

Lemma 2. x $\le$ |x| för alla reella x. Bevis: Trivialt.

Lemma 3. |xy| = |x||y| för alla reella och y. Bevis: använd tex lemma 1.

|a + b|² = (a + b)² = a² + b² + 2ab = |a|² + |b|² + 2ab $\le$ |a|² + |b|² + 2|ab| = |a|² + |b|² + 2|a||b| = (|a| + |b|)².

Således har vi att |a + b|² $\le$ (|a| + |b|)². Vilket ger det sökta resultatet om vi drar roten ur på båda sidor. Roten ur är en strikt växande funktion, så olikheten bevaras när vi drar roten ur.