6 svar
84 visningar
mattemannen 10
Postad: 3 dagar sedan

Visa att nul A^2 = nul A^3 för en injektiv avbildning

Hej! Jag skulle behöva hjälp med att bevisa ett påstående.

Låt A vara en kvadratisk matris och avbildningen x  Ax vara injektiv, visa att Nul A2 = Nul A3

Då avbildningen är injektiv vet jag att Nul A = {0} vilket jag också antar är Nul A^2 och Nul ^3. Jag har dock lite problem med att visa detta. Det jag har tänkt är att man kan utföra avbildningen A flera gånger.

Eftersom den är injektiv vet vi att Ax=0 endast gäller för x=0 d.v.s Nul A = 0. Sedan tänker jag att man kan utföra avbildningen igen s.a  A2x = A(Ax) = 0 . Med samma resonemang (A injektiv) är denna ekvationen uppfylld endast för Ax=0 som enligt innan innebar att x=0. Då är Nul A = Nul A^2 = 0 o.s.v. Jag är dock osäker på om detta resonemang fungerar och skulle behöva lite hjälp på hur man bevisar detta bäst.

Tacksam för hjälp

Albiki 4979
Postad: 3 dagar sedan

Hej,

Du behöver visa två saker:

  • Om xNul(A2)x\in Nul(A^2) är ett godtyckligt element så följer det att xNul(A3)x\in Nul(A^3).
  • Om yNul(A3)y\in Nul(A^3) är ett godtyckligt element så följer det att yNul(A2)y\in Nul(A^2).

Då har du visat dels att Nul(A2)Nul(A3)Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3) dels att Nul(A3)Nul(A2)Nul(A^3) \subseteq Nul(A^2) vilket är samma sak som att Nul(A2)=Nul(A3)Nul(A^2) = Nul(A^3).

mattemannen 10
Postad: 2 dagar sedan Redigerad: 2 dagar sedan
Albiki skrev:

Hej,

Du behöver visa två saker:

  • Om xNul(A2)x\in Nul(A^2) är ett godtyckligt element så följer det att xNul(A3)x\in Nul(A^3).
  • Om yNul(A3)y\in Nul(A^3) är ett godtyckligt element så följer det att yNul(A2)y\in Nul(A^2).

Då har du visat dels att Nul(A2)Nul(A3)Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3) dels att Nul(A3)Nul(A2)Nul(A^3) \subseteq Nul(A^2) vilket är samma sak som att Nul(A2)=Nul(A3)Nul(A^2) = Nul(A^3).

Ok tack, tror jag fattar:

Låt xNul A2   {x: A2x=0}:       A3x = A (A2x) = A*0 = 0   för alla xNul A2Därför är Nul A2Nul A3

Eftersom A är injektiv är den inverterbar med inversen A-1 som också är injektiv m.m

Låt yNul A3   {y: A3y=0}:       A2y = A-1 (A3y) = A-1*0 = 0   för alla yNul A3Därför är Nul A3Nul A2

Då är de samma mängd d.v.s Nul A2=Nul A3, är detta ok? 

Albiki 4979
Postad: 2 dagar sedan

Ja, det ser bra ut.

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om AA inte är injektiv så kan man dra slutsatsen Nul(A2)Nul(A3)Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3) men ej nödvändigtvis Nul(A3)Nul(A2).Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).

Differensmängden Nul(A3)Nul(A2)Nul(A^3) \setminus Nul(A^2) är intimt förknippad med injektivitet hos AA; avbildningen AA är injektiv precis då differensmängden är tom.

mattemannen 10
Postad: 2 dagar sedan

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om AA inte är injektiv så kan man dra slutsatsen Nul(A2)Nul(A3)Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3) men ej nödvändigtvis Nul(A3)Nul(A2).Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).

Nice, tack så mycket för hjälpen! Skulle du möjligtvis kunna förklara denna del lite mer? Jag förstår att man fortfarande kan dra den första slutsatsen ganska enkelt men vad exakt i avsaknaden av injektivitet (och inverterbarhet) är det som gör att man inte nödvändigtvis kan dra den andra?

Kan man bevisa att A måste vara injektiv för att det ska garanterat stämma?

Albiki 4979
Postad: 2 dagar sedan
mattemannen skrev:

Du ser också var injektivitet behövdes, vilket visar att om AA inte är injektiv så kan man dra slutsatsen Nul(A2)Nul(A3)Nul(A^2) \subseteq Nul(A^3) men ej nödvändigtvis Nul(A3)Nul(A2).Nul(A^3)\subseteq Nul(A^2).

Nice, tack så mycket för hjälpen! Skulle du möjligtvis kunna förklara denna del lite mer? Jag förstår att man fortfarande kan dra den första slutsatsen ganska enkelt men vad exakt i avsaknaden av injektivitet (och inverterbarhet) är det som gör att man inte nödvändigtvis kan dra den andra?

Kan man bevisa att A måste vara injektiv för att det ska garanterat stämma?

Du visade det själv; om avbildningen inte är injektiv så kan du inte utföra matrismultiplikationen A-10A^{-1}0.

mattemannen 10
Postad: 2 dagar sedan

Du visade det själv; om avbildningen inte är injektiv så kan du inte utföra matrismultiplikationen A−10A-10.

Juste, för det skulle i sådana fall vara det ända sättet att visa att varje element i nul A^3 skulle göra ekvationen A^2y=0 sann. Behövde tänka igenom det en gång till haha.

Superschysst att du kunde ställa upp med bra svar, tack!

Svara Avbryt
Close