Visa att olikheten gäller

Hej!

Tips: bevisa att $2p+1\le p^2$, för alla p>4 (det går ganska enkelt att bevisa det).

Och du vet från (2) att $p^2\le 2^p$. Så, det blir  $2p+1\le p^2\le 2^p$

Kan du fortsätta nu?

(se också svar i en annan tråd med samma uppgift https://www.pluggakuten.se/trad/matte-5-uppg-2315/)

Okej, jag provade att göra så och det gav mig detta:

$$\begin{gathered} 2p+1\le p^2 \\ 0\le p^2-2p-1 \\ 0\le p(p-2)-1 \end{gathered}$$

Eftersom p måste vara större än 3 (enligt definitionen för n i uppgiften, och att n = p+1) blir högerledet i sista raden positivt och olikheten stämmer. 

Räcker det som bevis för n² ≤ 2ⁿ ?

I ditt induktionssteg behöver du bevisa att $p^2+2p+1\le 2^{p+1}$ för att ditt bevis ska vara komplett.

Genom att bevisa att $2p+1\le p^2$ (som leder till att $2p+1\le 2^p$, eftersom du vet att $p^2\le 2^p$ från steg 2) bevisar du exakt det som krävs i ditt induktionssteg. Och det borde räcka för beviset om $n^2\le 2^n$ via induktionsbevis.

Är du med? 

Inte riktigt. 

arad1986 skrev:

I ditt induktionssteg behöver du bevisa att $p^2+2p+1\le 2^{p+1}$ för att ditt bevis ska vara komplett.

Genom att bevisa att $2p+1\le p^2$ (som leder till att $2p+1\le 2^p$, eftersom du vet att $p^2\le 2^p$ från steg 2) bevisar du exakt det som krävs i ditt induktionssteg. Och det borde räcka för beviset om $n^2\le 2^n$ via induktionsbevis.

Jag fattar den här biten, men jag är lite osäker på hur jag ska göra för att bevisa det. När är det liksom "färdigbevisat"? Jag tänkte ju som jag skrev i mitt förra svar, men jag antar att det inte var tillräckligt för att vara ett faktiskt bevis?

djungelskog skrev:

Inte riktigt. 

arad1986 skrev:

I ditt induktionssteg behöver du bevisa att $p^2+2p+1\le 2^{p+1}$ för att ditt bevis ska vara komplett.

Genom att bevisa att $2p+1\le p^2$ (som leder till att $2p+1\le 2^p$, eftersom du vet att $p^2\le 2^p$ från steg 2) bevisar du exakt det som krävs i ditt induktionssteg. Och det borde räcka för beviset om $n^2\le 2^n$ via induktionsbevis.

Jag fattar den här biten, men jag är lite osäker på hur jag ska göra för att bevisa det. När är det liksom "färdigbevisat"? Jag tänkte ju som jag skrev i mitt förra svar, men jag antar att det inte var tillräckligt för att vara ett faktiskt bevis?

Vad är det som du tvivlar på att det är ett faktiskt bevis? Jag förstår inte riktigt ...

Du behöver bevisa att a+b < 2*c ($a = p^2$, $b=2p+1$, $c\hspace{0.17em}=2^p$)för att vara färdig med beviset. Du vet att a<c (från steg 2). Du behöver bevisa att b<c. Men du kan bevisa att b<a och du vet att a<c. Det leder omedelbart till b<c (eftersom b<a<c).

Så, om a<c och b<c då blir det genom summering av båda sidorna så att a+b<2*c

Jag trodde att jag bevisade a+b < 2*c? I mitt första svar alltså. Men jag antar att det inte var tillräckligt? Men det var så långt jag kom iallafall, och jag vet inte hur jag ska fortsätta där ifall det inte är tillräckligt.

(Syftar på den här lösningen:)

$$\begin{gathered} 2p+1\le p^2 \\ 0\le p^2-2p-1 \\ 0\le p(p-2)-1 \end{gathered}$$

Eftersom p måste vara större än 3 (enligt definitionen för n i uppgiften, och att n = p+1) blir högerledet i sista raden positivt och olikheten stämmer. 

Hittade den här https://www.youtube.com/watch?v=I_cDXjaPWzI&t=1s videon som förklarade en liknande uppgift ganska bra så att jag förstod :)