Visa att olikheten gäller för alla reella tal

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

JohanF skrev:

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

och de olika fallen borde vara på vilken sida av 0 som man placerar a och b

JohanF skrev:

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

så ||a|-|b|| = |a| - |b| eller vadå? om det är differensen mellan dessa?

är inte riktigt med på vad det är jag ska beräkna eller hur jag ska visa vad

Jag skulle göra så att jag kvadrerar båda led: 

${\left|a-b\right|}^2\ge {\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|}^2$

Eftersom båda led måste vara positiva (absolutbelopp), kan vi utgå från att olikheten håller. Kvadrering ger alltid ett positivt tal, vilket innebär att vi kan ta bort de yttersta absolutbeloppen, utan att förlora någon information (exempel: ${\left|-3\right|}^2={\left(-3\right)}^2=9$). Då får vi: 

${\left(a-b\right)}^2\ge {\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)}^2$

Prova nu att utveckla båda parenteser. Vad händer? :)

Smutstvätt skrev:

Jag skulle göra så att jag kvadrerar båda led: 

${\left|a-b\right|}^2\ge {\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|}^2$

Eftersom båda led måste vara positiva (absolutbelopp), kan vi utgå från att olikheten håller. Kvadrering ger alltid ett positivt tal, vilket innebär att vi kan ta bort de yttersta absolutbeloppen, utan att förlora någon information (exempel: ${\left|-3\right|}^2={\left(-3\right)}^2=9$). Då får vi: 

${\left(a-b\right)}^2\ge {\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)}^2$

Prova nu att utveckla båda parenteser. Vad händer? :)

Det var en bra metod!

Maremare skrev:

JohanF skrev:

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

så ||a|-|b|| = |a| - |b| eller vadå? om det är differensen mellan dessa?

är inte riktigt med på vad det är jag ska beräkna eller hur jag ska visa vad

Nä. Avståndsskillnaden mellan två avstånd ser vi på som ett avstånd. Tre fall/figurer, en figur där a och b är till vänster om 0 (dvs båda negativa), en figur där a och b är till höger om 0, en figur där a och b befinner sig på var sin sida av 0.

Det är egentligen bara sista figuren som är intressant att titta på. 

Känslan när JohanF berömmer ens metod: 

:D

Smutstvätt skrev:

Känslan när JohanF berömmer ens metod: 

:D

Det är just de här som är så bra med Pluggakuten. Av slump eller vana så låser man in sig i första tankebana och får skygglappar, tills gubben/gumman i lådan plötsligt dyker upp och river bort skygglapparna.

Smutstvätt skrev:

Jag skulle göra så att jag kvadrerar båda led: 

${\left|a-b\right|}^2\ge {\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|}^2$

Eftersom båda led måste vara positiva (absolutbelopp), kan vi utgå från att olikheten håller. Kvadrering ger alltid ett positivt tal, vilket innebär att vi kan ta bort de yttersta absolutbeloppen, utan att förlora någon information (exempel: ${\left|-3\right|}^2={\left(-3\right)}^2=9$). Då får vi: 

${\left(a-b\right)}^2\ge {\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)}^2$

Prova nu att utveckla båda parenteser. Vad händer? :)

jag vet dessvärre inte hur man utvecklar parenteser som innehåller absolutbelopp, finns det regler för det?

JohanF skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

så ||a|-|b|| = |a| - |b| eller vadå? om det är differensen mellan dessa?

är inte riktigt med på vad det är jag ska beräkna eller hur jag ska visa vad

Nä. Avståndsskillnaden mellan två avstånd ser vi på som ett avstånd. Tre fall/figurer, en figur där a och b är till vänster om 0 (dvs båda negativa), en figur där a och b är till höger om 0, en figur där a och b befinner sig på var sin sida av 0.

Det är egentligen bara sista figuren som är intressant att titta på. 

okej så jag ska alltså räkna ut

Fall1: $a-b\ge a - b$

fall2: $-a+b \ge -a+b$

fall3: $a-b \ge -a-b$

varaför inte fall4: $a-b\ge a+b$

varför inte fall5: $-a+b \ge -a+b$

förstår inte alls denna uppgift tyvärr, förstår inte vad det är jag ska visa och hur jag ska visa det, förstår inte hur många fall det blir och varför det blir många fall för jag kan komma på fler fall än 3

Nja, låt absolutbeloppen vara så länge. Utveckla parenteserna med kvadreringsreglerna, och låt absolutbeloppen vara kvar under tiden. Om det känns lättare kan du substituera $s=\abs{a}$ och $t=\abs{b}$ innan du utvecklar, och substituera tillbaka sedan. :D 

Triangleolikheten ingår inte i Ma3. Maremare, brukade du inte lägga dina trådar på universitetsnivå tidigare? Om du lägger tråden på universitetsnivå, så har vi fler verktyg tillgängliga för att hjälpa dig än om tråden ligger på Ma3, när vi t ex inte skulle kunna använda kedjeregeln för att derivera en funktion.

Om du använder Smutstvätts metod så är det bra att känna till följande räkneregler.

För alla reella tal x och y gäller

x $\le$ |x|

|x|² = x²

|xy| = |x||y|.

Smaragdalena skrev:

Triangleolikheten ingår inte i Ma3. Maremare, brukade du inte lägga dina trådar på universitetsnivå tidigare? Om du lägger tråden på universitetsnivå, så har vi fler verktyg tillgängliga för att hjälpa dig än om tråden ligger på Ma3, när vi t ex inte skulle kunna använda kedjeregeln för att derivera en funktion.

jo där lägger jag upp när jag läser mina kurser på universitetsnivå, nu läser jag bara hobby matte för att repetera grunder inför kommande kurser.

jag har även märkt att när jag lägger upp saker där kan man få svar att "det där ska du kunna och kan du inte det behöver du repetera tidigare kurser" och slutar med att jag ändå lägger upp i tidigare kurser

som tex derivera en funktion har jag glömt så det skulle förvirra mig mer

Smutstvätt skrev:

Nja, låt absolutbeloppen vara så länge. Utveckla parenteserna med kvadreringsreglerna, och låt absolutbeloppen vara kvar under tiden. Om det känns lättare kan du substituera $s=\abs{a}$ och $t=\abs{b}$ innan du utvecklar, och substituera tillbaka sedan. :D 

okej så 

$$\begin{gathered} {(\left|a\right|-\left|b\right|)}^2 ={\left|a\right|}^2-2\left|a\right|\left|b\right|+{\left|b\right|}^2 \\ stämmer detta? \end{gathered}$$

Som illustration kan vi använda Smutstvätts metod för att lösa ett liknande problem, nämligen den vanliga triangelolikheten

|a + b| $\le$ |a| + |b|.

Bevis:

|a + b| $\le$ |a| + |b| $\iff$

|a + b|² $\le$ (|a| + |b|)² $\iff$

(a + b)² $\le$ a² + b² + 2|a||b| $\iff$

a² + b² + 2ab $\le$ a² + b²  + 2|a||b| $\iff$

2ab $\le$ 2|a||b| $\iff$

ab $\le$ |a||b| $\iff$

ab $\le$ |ab|.

Eftersom den sista raden alltid är sann, och då vi har ekvivalens i varje steg, så måste den första raden, som vi vill bevisa, även den vara sann.

QED.

Maremare skrev:

Smutstvätt skrev:

Nja, låt absolutbeloppen vara så länge. Utveckla parenteserna med kvadreringsreglerna, och låt absolutbeloppen vara kvar under tiden. Om det känns lättare kan du substituera $s=\abs{a}$ och $t=\abs{b}$ innan du utvecklar, och substituera tillbaka sedan. :D 

okej så 

$$\begin{gathered} {(\left|a\right|-\left|b\right|)}^2 ={\left|a\right|}^2-2\left|a\right|\left|b\right|+{\left|b\right|}^2 \\ stämmer detta? \end{gathered}$$

Ja! Nu kan du använda samma regel som vi gjorde vid kvadreringen, att $x^2=|x|^2$, för att förenkla ytterligare. Hur ser vänsterledet ut? Kan du plocka bort något från båda led? 

Det gäller för komplexa tal också. Övning: illustrera satsen i det komplexa talplanet. Det kanske ger mer kött på benen.

Maremare skrev:

JohanF skrev:

Visa föregående citat

Maremare skrev:

JohanF skrev:

Kan du få ut något av det om du tittar vad det betyder grafiskt?

$\left|a-b\right|$ är avståndet mellan a och b på en talaxel

$\left|a\right|$ är samma sak som $\left|a-0\right|$, dvs avståndet mellan a och 0 på samma talaxel

$\left|b\right|$ är samma sak som $\left|b-0\right|$, dvs avståndet mellan b och 0 på samma talaxel

$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|$ borde då vara skillnaden mellan de ovanstående två avstånden

så ||a|-|b|| = |a| - |b| eller vadå? om det är differensen mellan dessa?

är inte riktigt med på vad det är jag ska beräkna eller hur jag ska visa vad

Nä. Avståndsskillnaden mellan två avstånd ser vi på som ett avstånd. Tre fall/figurer, en figur där a och b är till vänster om 0 (dvs båda negativa), en figur där a och b är till höger om 0, en figur där a och b befinner sig på var sin sida av 0.

Det är egentligen bara sista figuren som är intressant att titta på. 

okej så jag ska alltså räkna ut

Fall1: $a-b\ge a - b$

fall2: $-a+b \ge -a+b$

fall3: $a-b \ge -a-b$

varaför inte fall4: $a-b\ge a+b$

varför inte fall5: $-a+b \ge -a+b$

förstår inte alls denna uppgift tyvärr, förstår inte vad det är jag ska visa och hur jag ska visa det, förstår inte hur många fall det blir och varför det blir många fall för jag kan komma på fler fall än 3

Jag ska iallafall försöka spinna vidare på min halvkvädna visa...

Om $a, b>0$ger likhet HL=VL (rita tallinjen)

om $a, b<0$ ger likhet HL=VL (rita tallinjen)

om $a<0<b$ (eller $b<0<a$) ger likhet endast när$b\to 0$ eller $a\to 0$.I övriga fall är HL>VL, vilket man inser om man ritar tallinjen