visa att om f(x)=f(-x)=>f´(0)=0 (Matematik/Universitet)

Sätt upp en central differenskvot kring x = 0, låt steglängden 2h gå mot 0.

$f(x) =|x|$

uppfyller

$f(x) = f(-x)$

men inte

$f'(0)=0$

Bra poäng. Det bör finnas ett bivillkor att f(x) ska vara deriverar vid x = 0 alternativt att uppgiften lyder "Undersök om det gäller att ..."

@lamayo, hur ser uppgiften ut i sin helhet?

Yngve skrev:
Bra poäng. Det bör finnas ett bivillkor att f(x) ska vara deriverar vid x = 0 alternativt att uppgiften lyder "Undersök om det gäller att ..."
@lamayo, hur ser uppgiften ut i sin helhet?

förlåt, missade att skriva att f är deriverbar

Dr. G skrev:
$f(x) =|x|$
uppfyller
$f(x) = f(-x)$
men inte
$f'(0)=0$

Så det gäller inte?

Yngve skrev:
Sätt upp en central differenskvot kring x = 0, låt steglängden 2h gå mot 0.

varför 2h?

lamayo skrev:
Yngve skrev:
Sätt upp en central differenskvot kring x = 0, låt steglängden 2h gå mot 0.
varför 2h?

Det ger enklare beräkningar om man har en central differenskvot.

Ifall den är deriverbar så kanske det naturligaste är att prova att derivera?

JohanB skrev:
Ifall den är deriverbar så kanske det naturligaste är att prova att derivera?

Det går inte eftersom vi inte vet hur f(x) ser ut.

Vi vet ju att f(x)=f(-x). Då kan vi ju derivera om vi kan rätt deriveringsregel.

JohanB skrev:
Vi vet ju att f(x)=f(-x). Då kan vi ju derivera om vi kan rätt deriveringsregel.

Jag är osäker på vad du menar med att derivera här. Menar du alltså att vi kan få ett explicit uttryck för $f'(x)$ om vi bara väljer rätt deriveringsregel?

Och hur ska vi i så fall välja den så att vi vet om $f'(x)$ till exempel är lika med $sin(x)$ , $4x$ eller $2xe^{x^2}$ ?

Behövs ett explicit uttryck? Vad händer om vi deriverar båda sidorna, derivatan av f(x) blir ju f'(x), vad händer på högra sidan? Det kanske kan ge någon information om derivatan i 0.

Jag tänker att allmän f(x) --> hålla sig till allmän definition av derivata.

f'(x) = lim(h->0) ( f(x + h) - f(x - h) ) / 2h

Så

f'(0) = lim(h->0) ( f(h) - f(-h) ) / 2h

Men eftersom f(x)=f(-x) för alla x, så har vi f(h)-f(-h)=0 för alla h, så det blir trivialt

f'(0) = lim(h->0) 0 / 2h = 0 för alla h

Dvs f'(0)=0

JohanB skrev:
Behövs ett explicit uttryck? Vad händer om vi deriverar båda sidorna, derivatan av f(x) blir ju f'(x), vad händer på högra sidan? Det kanske kan ge någon information om derivatan i 0.

Menar du $f'(x) =\frac{d} {dx} f(x) = \frac{d} {dx} f(-x) = -f'(-x)$ , och sedan sätter man x = 0?

JohanB skrev:
Behövs ett explicit uttryck? Vad händer om vi deriverar båda sidorna, derivatan av f(x) blir ju f'(x), vad händer på högra sidan? Det kanske kan ge någon information om derivatan i 0.

Ja då förstår jag vad du menar. Jag blev förvirrad av att du skrev

Då kan vi ju derivera om vi kan rätt deriveringsregel.

Jag tänkte att man inte använder någon deriveringsregel alls när man skriver att derivatan av f(x) är f'(x).

Precis, det var så jag menade. Man behöver ju ingen regel för f(x), men för f(-x) så behövs kedjeregeln.

För er "volontärer": blir det inte bevisat genom min metod ovan? Nyfiken på om jag missat något. Att hålla sig till direkta deriveringsregler utan att veta formatet på f(x) låter som ett lite väl stort hopp i stringensen tycker jag.

foppa skrev:
Jag tänker att allmän f(x) --> hålla sig till allmän definition av derivata.
f'(x) = lim(h->0) ( f(x + h) - f(x - h) ) / 2h
Så
f'(0) = lim(h->0) ( f(h) - f(-h) ) / 2h
Men eftersom f(x)=f(-x) för alla x, så har vi f(h)-f(-h)=0 för alla h, så det blir trivialt
f'(0) = lim(h->0) 0 / 2h = 0 för alla h
Dvs f'(0)=0

Du utgår inte från att f'(0) existerar. Resonemanget verkar hålla även för f(x) = |x|, men det gör det inte.

Man måste nog titta på höger- och vänsterderivata för sig. De ska vara lika då f'(0) existerar.

Dr. G skrev:
foppa skrev:
Jag tänker att allmän f(x) --> hålla sig till allmän definition av derivata.
f'(x) = lim(h->0) ( f(x + h) - f(x - h) ) / 2h
Så
f'(0) = lim(h->0) ( f(h) - f(-h) ) / 2h
Men eftersom f(x)=f(-x) för alla x, så har vi f(h)-f(-h)=0 för alla h, så det blir trivialt
f'(0) = lim(h->0) 0 / 2h = 0 för alla h
Dvs f'(0)=0
Du utgår inte från att f'(0) existerar. Resonemanget verkar hålla även för f(x) = |x|, men det gör det inte.
Man måste nog titta på höger- och vänsterderivata för sig. De ska vara lika då f'(0) existerar.

Men när man nu har fått veta att f är deriverbar, då fungerar det väl med +h/-h?

Tack Dr G, jag va lite slarvig i hur jag uttryckte mig. Jag förutsatte att vi inte fått all info i uppgiften utan att det också ligger ett antagande om deriverbarhet i x=0. Annars blir det ju konstigt att snacka f’(0), men det kanske finns något snyggt sätt att knyta ihop allt ändå.

foppa skrev:
För er "volontärer": blir det inte bevisat genom min metod ovan? Nyfiken på om jag missat något. Att hålla sig till direkta deriveringsregler utan att veta formatet på f(x) låter som ett lite väl stort hopp i stringensen tycker jag.

Jo det anser jag, och det var precis det jag menade ned mitt första svar i tråden.

Men den metod som JohanB tipsar om är elegantare och använder endast kedjeregeln.

Laguna skrev:
Men när man nu har fått veta att f är deriverbar, då fungerar det väl med +h/-h?

Ja, om derivatan existerar så kommer centraldifferenskvoten att gå mot derivatan när h går mot 0 (även om det bör bevisas).

Lite lurigt dock att centraldifferenskvoten blir 0 för alla h > 0, även för icke deriverbara jämna funktioner.

jag är inte helt hundra på hur jag ska göra..

Om jag ska använda centrala differenskvoten och x kring 0 är ju $l i m_{2 h - > 0} \frac{f (h) - f (- h)}{2 h}$ men hur hjälper det mig?

På andra sättet då derivatan av f(x) är f´(x). På högra sidan, hur ska jag kunna derivera f(-x) med kedjeregeln?

Om f’(0) existerar så gäller det att

f’(0) = $\lim_{h \to 0}$ $\frac{f (h) - f (- h)}{2 h}$ . Visa detta.

När det gäller kedjeregeln (som gäller för derivering av sammansättningen av två funktioner) så kan vi se funktionen x $\mapsto$ f(-x) som sammansättningen av f och funktionen g: x $\mapsto$ -x.

Kedjeregeln ger oss då att (D är deriveringsoperatorn)

D(f $\circ$ g)(x)= Df(g(x)) $\cdot$ Dg(x) = f’(-x) $\cdot$ (-1) = -f’(-x).