Visa att tangenterna i skärningspunkternas är vinkelräta mot varandra - en riktig klurig A-fråga

Börja med att hitta skärningspunkter för parabeln och linjen y = kx.

Jag vet inte hur jag ska göra, jag har satt de skärningspunkterna som (a, f(a)) och (b, f(b))

Andragradsfunktionen är $y(x)=1-x^2/4$

Derivatan är $y'(x)=-x/2$.

Linjen genom origo beskrivs av $y=kx$ och den skär parabeln i de två punkterna $(a, 1-a^2/4)$ och $(b, 1-b^2/4)$.

Tangenterna i dessa punkter har lutningarna $k_a=y'(a)=-a/2$ respektive $k_b=y'(b)=-b/2$.

Du vill nu visa att $k_a\cdot k_b=-1$, dvs att $(-a/2)\cdot (-b/2)=-1$, dvs att $ab=-4$.

Båda skärningspunkterna mellan linjen och parabeln uppfyller sambandet $y=kx$, vilket ger oss följande ekvationer:

$1-a^2/4=ka$, dvs $k=1/a-a/4$

$1-b^2/4=kb$, dvs $k=1/b-b/4$

Dessa två tillsammans ger oss

$1/a-a/4=1/b-b/4$

Kommer du vidare nu?

´

$1-a^2/4=ka$, dvs $k=1/a-a/4$

$1-b^2/4=kb$, dvs $k=1/b-b/4$

 

Jagförstod inte detta steg 

detrr skrev :

´

$1-a^2/4=ka$, dvs $k=1/a-a/4$

$1-b^2/4=kb$, dvs $k=1/b-b/4$

 

Jagförstod inte detta steg 

$1-\frac{a^2}{4}=ka$

Dividera med $a$:

$\frac{1-\frac{a^2}{4}}{a}=k$

Dela upp VL på två bråkstreck:

$\frac{1}{a}-\frac{\frac{a^2}{4}}{a}=k$

Förenkla andra termen i VL:

$\frac{1}{a}-\frac{a}{4}=k$

----

Samma sak med andra ekvationen.

Jag kommer då vidare till att -4a = -4b 

detrr skrev :

Jag kommer då vidare till att -4a = -4b 

Då har du nog gjort fel någonstans.

Visa hur du kommer dit så hjälper vi dig att hitta felet.

Börja med

$1/a-a/4=1/b-b/4$

-----------------------------

Tips: Multiplicera hela ekvationen med $4ab$ för att bli av med nämnarna.

detrr skrev :

Ja. Bra.

Multiplicera nu med 4 för att bli av med nämnarna, samla blandtermer och försök bryta ut en faktor $ab$.

detrr skrev :

$4b-a^2b=4a-ab^2$

$ab^2-a^2b=4a-4b$

Bryt ut $ab$ i vänsterledet och $4$ i högerledet. Dividera sedan med lämplig faktor och du är framme.

4b−a2b=4a−ab2

ab2−a2b=4a−4b

ab(b^2 - a^2)=4a-4b 

hur vet man vilken som är lämplig faktor, det kan väll både vara a och b? 

detrr skrev :

4b−a2b=4a−ab2

ab2−a2b=4a−4b

Fram hit är det rätt

ab(b^2 - a^2)=4a-4b 

Vänsterledet är fel, det ska vara $ab(b - a)$.

Du har inte brutit ut 4 ur högerledet. Gör det så ser du nog vad du ska dividera med på slutet. Eller ännu bättre, bryt ut -4 istället för 4 ur högerledet. Då blir det ännu lättare att se vilken division som.ska göras. 

Oj, skyller det på min trötthet. 

ab(b-a) = -4(b-a) 

ab = -4  --> a = -4/b och sätter in det i uttrycket ovan och nu är det äntligen löst. Tuuuuuusen tack, har suttit med denna uppgift väldigt väldigt länge. Tack återigen :DDDDDDDDDD

detrr skrev :

Oj, skyller det på min trötthet. 

 

ab(b-a) = -4(b-a) 

ab = -4  --> a = -4/b och sätter in det i uttrycket ovan och nu är det äntligen löst. Tuuuuuusen tack, har suttit med denna uppgift väldigt väldigt länge. Tack återigen :DDDDDDDDDD

Varsågod. Som tröst kan jag säga att den faktiskt var klurig.